Урок на тему "Производная" ( 10 КЛАСС)

Цель урока: выяснение степени усвоения понятия производной функции, правил  вычисления производных, таблицы производных элементарных функций; Задачи: рассмотреть задачи на геометрические и механические приложения  производной; Ход урока: I. Вступительное слово учителя: объявление темы и целей урока.  II.  Проверка усвоения теоретического материала.  Правильный ответ +1 балл, неправильный –1 балл. 1) определение производной, 2) определение возрастающей функции, 3) признак точки максимума, 4) производная постоянного числа, 5) тангенс угла наклона, 6) признак убывающей функции, 7) определение экстремумов функции. III. Решение устных и письменных примеров – вычисление производных функций,   на   нахождение   промежутков   монотонности,   точек экстремума и экстремумов функции.  Правильный ответ +1 балл, неправильный –1 балл. 1) чтение графика функции (устно) по таблице: Найти:  а) промежутки возрастания и убывания функции, б) точки экстремума, в) экстремумы функции, г) наименьшее и наибольшее значения функции. 1 y a x1 x2      x3 x4 b x 2) устно : Найти производные функций: y 2  x 3 y  3 x 4   2  x y x 7  21 y 5cos x y 1  cos x y 2 x 3  2 2 x  y  sin  23  x y  tgx 3  2 y 16 x x y  ctg  3  x 2 y  sin  x cos x y  1 3 3 x  1 2 2 x  2 x  3 3) тестовые задания (письменно): а) найти производную функции  )( xf  5 x 4  5,3 x 2  x sin  6 . А)  20 3  x 7 x 20 3 x  7 x  1 Б)  20 3 x  7 x  1 1 2 В) б) найти значение производной функции  xg )(  5 x 3 x  x   в точке  0 x .4 А)  47 15 16 Б) 44 В)  в) сравнить  )0('f  и  )0('g , если  )( xf  7,0 x 5  2 3 3 x  75,0 x 2  1 10 , )( xg  2 x 10  05,0 x 4  1 7 x  .3,0 А)  )0('f =  )0('g г) решить неравенство  f )(' x )0('f Б)  , если  0 > )0('g В)  )0('f <  )0('g )( xf  2 x 3  2 9 x  12 x  5 . 2   1;    А)   2; ;1    ;2 Б)   2;1 В) Решение учащиеся оформляют в тетрадях, ответы сдают на листках.  За правильный ответ +3 балла, за неправильный –3 балла. IV.   Решение   устных   заданий   типа   «Что   бы   это   значило?»,   «Найди ошибку».  Вопросы на обратной стороне доски. 1). «Что бы это значило?»   x 2  2?  3 x  3 '   cos  5 x   7    '   ?5  1 x '    1 ? 4       За правильный ответ +1 балл. x )(' x f )(xf  1;7 + ? (1;5) – ? 1 0 4 ? 2). «Найди ошибку».       12 1 1 x x x  1      x   3 3 2 ' 2  1   2 x  x 3 x  23  2 x   4 2 x   1  x 3 x  23 2  4 3 x 5 x  4   1 3 x  x 2  23  2 x . За правильный ответ с объяснением +5 баллов. V. Задание.  Написать   уравнение   касательной   к   графику   функции   Выполнить   в   точке   графика   с   абсциссой   0 x  )( xf .1  7 4 x x 2 рисунок.  Первый правильный ответ +6 баллов. VI.   Механическое   приложение   производной.   Решение   задачи   на вычисление кинетической энергии тела. Задание.  Тело   массой   5   кг   движется   прямолинейно   по   закону   (s  – путь в метрах,  t  – время в секундах). Найти кинетическую )( ts 2 t 2 энергию тела через 2 с после начала движения. 3 Первый правильный ответ +4 балла. VII. Геометрическое   приложение   производной.   Исследовать   на возрастание и убывание функции; на максимум и минимум функции.  Найти   промежутки   монотонности,   точки   экстремума   и Задание. экстремумы функции  y  x 3 2 2 x  x .  первый правильный ответ с объяснением +5 баллов. VIII. Подведение итогов:  Выставление оценок. IX.   Исторический материал о происхождении терминов и обозначений по теме «Производная». Сведения из истории Термин «производная» является  буквальным переводом на русский  французского слова deriveе, которое ввел в 1797 году Ж. Лагранж (1736 –  1813); он же ввел современные обозначения у’, f ’. Исаак Ньютон называл  производную функцию флюксией, а саму  функцию – флюентой. Г. Лейбниц  говорил о дифференциальном отношении и обозначал производную как  df . dx Систематическое   учение   о   производных   развито   Лейбницем   и Ньютоном. Если Ньютон находил в основном из задач механики, то Лейбниц по преимуществу находил из геометрических задач. Свои результаты в этой области   Ньютон   изложил   в   трактате,   названным   им   «Метод   флюксий   и бесконечных рядов», но его трактат был опубликован лишь посмертно в 1736 г.   Первая   печатная   работа   по   дифференциальному   исчислению   была опубликована Лейбницем в 1684 г., озаглавленная «Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных, для которого не являются препятствием дробные и рациональные количества, и особый для этого род исчисления».  4 5