урок на тему"Комбинаторные задачи"

У р о к  № ТЕМА: Комбинаторные задачи Цели: ввести понятие факториала и перестановки, учить находить их в ходе упражнений; развивать логическое мышление учащихся. Ход урока I. Актуализация опорных знаний. 1. Решить на доске задания из домашней работы, вызывающие затруднения у учащихся. 2. Сформулируйте правило умножения. 3. Какими способами можно решать комбинаторные задачи? 4. Решить задачу № 18.8 (г) (устно). г) Холодных цветов всего 4, поэтому всего способов 4 3 2 II. Объяснение нового материала. 1. Правило умножения позволяет в один шаг решать самые разнообразные задачи.   Например,   оно   приводит   к   крайне   важному   в   математике   понятию факториала.    24. 2. Рассмотреть пример 6 на с. 191 учебника. 3. Определение. Произведение подряд идущих первых n – натуральных чисел обозначают n! и называют «эн факториал» 1)       ! 1 2 3 ... ( n n Одно   из   значений   английского   слова  factor  –   «множитель».   Так   что   эн  n . факториал примерно переводится как «Состоящий из n множителей». 4. Записать в тетрадь значения 1!, 2!, 3!, 4!, 5!, 6!. 5. Рассмотреть и записать в тетрадь формулу для подсчета, связанных с n! на с. 191 учебника. 6. Рассмотреть пример 7 на с. 192–193 учебника. 7.  Теорема.  n  различных   элементов   можно   расставить   по   одному   на  n различных мест ровно n! способами.  8.   Исторически   сложилось   так,   что   более   употребителен   не   термин «расстановка», а «перестановка», и потому эту теорему чаще формулируют так: «Число всех перестановок множества из n элементов равно n!». Сокращенно это записывается в виде формулы Pn = n!.В этом сокращении буква P соответствует первой букве английского глагола (существительного) (permutation),   который   и   переводится   как «переставлять»  («перестановка»).  Например,  P3 = 3! = 6,   P7 = 7! = 5040 и т. д.  permute  III. Выполнение упражнений. 1. Решить № 18.11. а) 7! = 5040; б) 8! = 5040  8 в) 6! – 5! = 720 – 120 =  600; 40320;   5! 120 5 5   24. г)  О т в е т: а) 5040, б) 40320, в) 600, г) 24. 2. Решить № 18.12. 5! 6 7 8 9 10       30240; 5!  49! 50 51  462;      6! 7 8 9 10 11      1 2 3 4 5 6!   49! 7! 8 9 10 11 12 13 14        2550;   10! 5! 11!  5! 6! 51! 49!  а)  б)  в)  14!   7! 3! 4!   120120. 7! 6 24   г)  О т в е т: а) 30240; б) 462; в) 2550; г) 120120.  3. Решить № 18.13 на месте с комментированием. Число 11! Делится на такое число, в разложении которого содержатся только множители, входящие в 11! а) 64 б)  25     поэтому 11! делится на 64; 2 4 8, 5 5,    поэтому   11!   делится   на   25   (вторая   пятерка   содержится   в множителе 10); в)  81 3 3 9,      поэтому   11!   делится   на   81   (вторая   тройка   содержится   в множителе 6); г) 49 7 7,   число 11! Содержит только один множитель 7, поэтому 11! Не делится на 49. 4. Решить № 18.14 (в; г).в)  n !   n 2! (  m (4  m (4 2)! 1)! 3)!  (4    n n n 1)( (    2 1 ( n  m 1)(4 m m (4  2)! 2)!   2)(4 3)! 1)  ( n n 2 3)!  m 2 n   2 n ;  16 m 2  12 m  2. г)  5. Решить № 18.15 (а; б; в) на с. 122 задачника. Решение № 18.15 (б) объясняет учитель. a) n! = 7(n – 1)! n(n – 1)! = 7(n – 1)! n = 7; б) (m + 17)! = 420(m + 15)!; m  N (m + 17) (m + 16) (m + 15)! = 420(m + 15)! m2 + 33m – 148 = 0 m 1, 2    33 41 2 m = 4; в) (k – 10)! = 77(k – 11)! (k – 10) (k – 11)! = 77(k – 11)! k – 10 = 77 k = 87. О т в е т: а) 7, б) 4, в) 87. 6. Решить № 18.25 (а; б).  ( n  n (  2)!(  ( n  n 4)! 9)  n ( 2 2)!( n n 2)!(   3)( 3)( 3) 4)  n n   3 4 ; n n 2      а)  б)    2)! ( n   ( n 2)!  ( n 2)! 1  1  1  3   n n  ( n 1)!  n n 1)( ( n  1)! ( ( n n n  1 n 2)!( n n  (  1  n (  1)  1) 2)!  (  ( 1) n  n n ( !( n n 1  n 1  2)! 2)!   1) 1)!  n  n 1  n ( ( 1 1)!   0 2)! 7. Решить № 18.16. а) Общее число способов рассаживания равно: 5 4 3 2 1 120.     б) Хозяин сразу займет свое конкретное место. Гость А может занять одно из 4 мест, гость В – одно из 3, гость С – одно из 2, а гость D – займет оставшееся место. Общее число способов рассаживания по местам равно 1 4 3 2 1 24.      в) Гость А может занять любое из 5 мест,  тогда гость С займет любое из двух мест рядом с А, гость В займет любое из трех оставшихся мест, гость D любое из двух оставшихся мест, хозяин займет последнее место. Общее число возможных вариантов равно: 5 2 3 2 1 60.      г) Аналогично г), если бы гость А и D сидели вместе, то существовало бы 60 возможных   вариантов.   Поэтому   способов   рассаживания   гостей  А  и  D  врозь существует 120 – 60 = 60.  О т в е т: а)120; б) 24; в) 60; г) 60. IV. Итоги урока. Дать определение n­факториала. Домашнее задание:   изучить   § 18   на   с.   191–193   учебника;   решить № 18.14 (а; б), 18.15 (г), 18.25 (в; г), 18.24.