Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе. Тема: Перестановки.

Открытый урок по алгебре и началам анализа  в 11 классе Тема урока: Перестановки. Подготовила и провела  учитель математики:  Водолазская Е.Ф. Цели: Образовательные: ­ рассмотреть один из видов комбинаций – перестановки, вывести формулу  для нахождения числа перестановок, научиться решать задачи с  перестановками; Развивающие: ­ развивать элементы комбинаторного мышления, логическое мышление; ­ развивать способности учащихся реализовывать полученные знания при  выполнении заданий различного уровня сложности; ­ развивать математическую интуицию, самостоятельность, инициативу,  математическую речь. Воспитательные: ­ формировать у учащихся таких черт личности как чувство  взаимоответственности, чувство коллективизма, наблюдательность,  усидчивость, чувства самоанализа, самооценки. Ход урока: 1 Организационный момент. ­ Здравствуйте, ребята! Садитесь. Проверяется готовность учащихся к уроку. 2 Сообщение темы и цели урока. ­ Ребята, на предыдущих уроках мы рассмотрели некоторые комбинаторные  задачи, и выяснили, что есть три основных вида комбинаций – перестановки,  размещения и сочетания. Сегодня мы с вами более подробно рассмотрим  первый вид комбинаций – перестановки, выведем формулу для нахождения  числа перестановок, будем учиться решать задачи с перестановками. 3 Проверка домашнего задания. ­ Упростить: 4 Проверка знаний. Тестовая работа. Сейчас вы будете выполнять тест. Решение записываете в тетрадь, а ответы  фиксируете в бланке ответов. На всю работу 10 минут. (Бланки собираются, на доске  демонстрируется  таблица ответов и критерии  оценок. Учащиеся  проверяют свои работы,  выполненные в тетрадях, и сами  себе выставляют оценки согласно указанным критериям). Тест. 1 Как называется раздел математики, который занимается решением задач, в  которых требуется из имеющихся элементов составить различные наборы по  определённому правилу, подсчитать их количество? 1) тригонометрия 2) статистика 3) комбинаторика 4) кибернетика. 2 Дано утверждение: «Пусть некоторое множество состоит из m различных  элементов одного вида и n разных элементов другого вида. Тогда число пар,  состоящих из одного элемента первого вида и одного элемента второго вида,  равно mn».Как оно называется? 1) правило сложения 2) правило умножения 3) правило вычитания. 3 Как в математике называется произведение всех натуральных чисел от 1 до n  включительно? 4 Выбрать верную форму записи 6! : 1)5∙6! 2) 4!∙5∙6 3) 3!∙2! 4) 1∙2∙3 5 Вычислить  :                          1) 4 2) 40 3)   4) . 6 Упростить  :                                  1) 1 2) n+1 3) (n+1)! 4)  . 7 Сколько различных 2х–значных чисел, не имеющих одинаковых цифр, можно  записать с помощью цифр 4, 5, 6? 1) 8 2) 6 3) 12 4) 27. 8 Сколько различных 3х­значных чисел можно записать с помощью цифр 0,7,8,  если цифры могут повторяться? 1) 9 2) 8 3) 27 4) 18. 9. У Ани имеется 3 юбки и 5 кофт, удачно сочетающихся по цвету. Сколько  различных комбинаций из юбок и кофт имеется у Ани? 1) 5 2) 15 3) 3 4) 10. 10. В компьютере каждый символ (буква, цифра, спец.знак) кодируется  последовательностью из 8 нулей и единиц (0 и 1). Сколько различных символов можно закодировать таким образом?    1) 124 2)16 3) 256 4)64. 5 Изучение нового материала. Рассмотрим следующие задачи: ­ Даны 3 буквы: А,В,С. Составить все возможные комбинации из этих букв.  (АВС, АСВ, ВСА, ВАС, САВ, СВА ­ 6 комбинаций, или по правилу  умножения 3∙2∙1=6). ­ Сколькими способами можно расставить на полке рядом 5 разных книг? (По  правилу умножения 5∙4∙3∙2∙1=120.) Такие комбинации, состоящие из одного и  того же количества элементов, отличающиеся только их расположением,  называют перестановками. Сформулируем определение. Перестановками из n разных элементов называются соединения, которые  состоят из n элементов и отличаются друг от друга только порядком их  расположения. Обозначение – Рn , где n­ количество элементов, (Читается «Пэ из эн»)  (Р – первая буква франц.слова Permutation – перестановка) Как же находить число перестановок? Вернёмся к предыдущим задачам. 1 Р3=3∙2∙1=1∙2∙3=6=3! 2 P5=5∙4∙3∙2∙1=120=5! Если в перестановках участвует n элементов? Pn=n∙(n­1)(n­2)(n­3)…3∙2∙1=n!, значит Число перестановок из n­элементов вычисляется по формуле: Рn= n! 6 Закрепление. Выполнение заданий. Какие приёмы можно использовать при решении данных задач? Учащиеся  рассматривают: «Приёмы, используемые при решении комбинаторных задач». 1. «Фиксирование» элементов. Применяется, когда в условии задачи  говорится, что один или несколько элементов должны занимать определённые места в формируемой комбинации.  Нужно уменьшить количество исходных элементов на количество  фиксированных элементов.  Найти количество перестановок нефиксированных элементов.  Полученное кол­во перестановок нефиксированных элементов умножаем на  число перест­к «фиксированных» элементов между собой на их местах. В  результате получаем требуемое число перестановок. Например: Сколько различных 4х­значных чисел, начинающихся с двух  нечётных цифр, можно составить из цифр 1,2,3,4,6,8 (цифры в числе не  повторяются)? Исходное множество содержит 6 цифр, из которых только 2 нечётных. Эти  две цифры должны стоять в двух старших разрядах составляемого числа. На  два остающихся места могут быть выбраны любые 2 из остающихся 4 цифр; количество способов равно 4∙3=12. Две первые нечётные цифры могут быть  переставлены 2 способами (13 и 31), поэтому общее количество 4х­значных  чисел равно 2∙12=24. Ответ: 24 числа. 2. «Склеивание» элементов. Применяется, когда в задаче требуется, чтобы  2 или более элементов в составляемой комбинации всегда стояли рядом. Все  эти элементы будем рассматривать как один элемент («склеенный»).  Нужно уменьшить количество исходных элементов на количество  «склеенных» элементов.  Найти количество перестановок оставшихся элементов на оставшихся местах  Полученное количество перестановок умножаем на число перестановок  «склеенных» элементов между собой на их местах. В результате получаем  требуемое число перестановок. Например: Сколькими способами можно расставить на полке 8 книг, среди  которых 2 книги одного автора, которые при любых перестановках должны  стоять рядом? Условно будем считать 2 книги одного автора единой книгой («склеены»).  Тогда количество способов расстановки условных 7 книг на полке будет  равно числу перестановок из 7 элементов: Р7=120∙42=5040. Количество перестановок «склеенных» элементов – 2 . Поэтому 5040∙2=10080 ­ общее число способов расстановки книг на одной полке. Ответ: 10080  способами. 8. Домашнее задание. § 61, № 1059, 1060, 1061.  Инструктаж по выполнению домашнего задания. 9. Итоги урока. Выставляются оценки учащимся, проводится анализ их ответов.