Урок по алгебре на тему "Производная" (10-11 класс)

Фрагмент урока «Задачи, приводящие к понятию производной» Учебник : Мордкович и др. 10 класс профильный уровень, 10 класс . Тип урока: изучение нового материала. Продолжительность урока: 45 минут. Цели урока: 1. Образовательные:    повторить теоретический материал к теме; изучить задачи, приводящие к понятию производной; определить новую математическую модель; добиться понимания геометрического и физического аспектов вопроса;   закрепить полученные знания в ходе решения задач.    2. Воспитательные: продолжить формирование научного мировоззрения учащихся; способствовать овладению мыслительными операциями: анализом,  синтезом и др.; воспитывать графическую культуру учащихся. 3. Развивающие:  развитие умений интегрировать знания из курсов математики и физики и применять их на практике;  формирование познавательного интереса. Структура урока: 1. Организационный момент (3 мин). 2. Актуализация знаний (15 мин). 3. Изучение нового материала (10 мин). 4. Рефлексия, закрепление материала (3 мин). 5. Практикум по решению задач (12 мин). 6. Домашнее задание (2 мин). ­   Добрый   день,   ребята.   Наш   сегодняшний   урок   начнем   с   высказывания Имануила Канта  «В каждой естественной науке заключено  столько истины, сколько   в   ней   есть   математики».   На   доске   слайд: Насколько   нам   известно,   математика­   наука   о   математических   моделях. Вспомним, что математическая модель – это упрощенное описание реальной действительности   с   помощью   математических   понятий.     Сила   математики состоит в том, что она разрабатывает способы оперирования той или иной математической   моделью,   которыми   потом   пользуется   в   других   областях знаний.   То   есть   математика   изучает   реальную   действительность,   создавая модели.   Но,   часто   бывает   так,   что,   решая   задачи   совершенно   разные   по содержанию,  мы   приходим   к   одной   и   той   же   математической   модели.  Со многими математическими моделями вы знакомы, такими как   неравенства, уравнения и т.д. В ближайшее время мы познакомимся с совершенно новой для вас математической моделью, которую назвали «производная», но для начала нам необходимо выяснить, какие задачи, далекие друг от друга по содержанию   привели   математиков   к   одной   и   той   же   модели,   которую   в дальнейшем   стали   называть   «производная»?   Итак,   записываем   тему сегодняшнего урока « Задачи, приводящие к понятию производной». ­   (ученики   пишут   тему).   На   доске   слайд   с   темой: ­ Оказывается, существуют две задачи приводящие к понятию производной : 1) задача математики (  построение касательной к кривой) Дан гафик функции у=f(x). На нем выбрана точка А(х0, f(x0)), в этой точке к графику   функции   проведена   касательная.   Найти   угловой   коэффициент касательной. 2) задача естествознания ( определение скорости неравномерного движения):  по   прямой,   на   которой   заданы   начало   отсчета,   единица   измерения   и направление,   движется   некоторое   тело.   Закон   движения   задан   формулой s=s(t), где  t­  время,  s(t)  – положение тела на прямой в момент времени  t  по отношению начала отсчета. Найти скорость движения тела в момент времени t.   Немного   из   истории.   Первой   задачей   (задачей   о   касательной   к   кривой) занимался известный итальянский ученый Н. Тарталья.(учитель рассказывает историю, на доске слайд): А над задачей на определение скорости неравномерного двиджения работал итальянский физик и математик Г. Галилей. (слайд): Работая над своими задачами, оба ученых пришли к вычислению пределов одного и того же типа (слайд): Давайте с вами попытаемся сформулировать цели нашего урока. ­   Изучить   задачи,   приводящие   к   понятию   производной;   определить   новую математическую модель; добиться понимания геометрического и физического аспектов вопроса; закрепить полученные знания в ходе решения задач. ­   Хорошо,   но,для   того,   чтобы   добиться   всех   поставленных   целей,   нам необходимо повторить изученный нами ранее материал. Давайте вспомним, какие виды пределов функции вы знаете? ­ Пределы функции в точке и на бесконечности. ­ Какие свойства пределов используются для их вычислений? ­   Предел   суммы   равен   сумме   пределов,   предел   произведения   равен произведению   пределов,   предел   частного   равен   частному   пределов, постоянный множитель можно вынести за знак предела. ­ Хорошо, а какие частные случаи вычисления пределов вы знаете? ­  ,  ,  . ­ Какие приемы вычислений пределов вы знаете? ­ Деление и числителя и знаменателя функции на х в наибольшей степени. ­ Хорошо, я вам предлагаю решить задачи ( по одному ученику вызывается к доске   для   каждого   примера,   решают   примеры).   (на   слай ­Ученики решают примеры в тетрадях. ­ А помимо пределов, мы с вами с какими понятиями ещё познакомились на прошлых уроках? ­ Приращение функции и приращение аргумента. ­   Вспомном   эти   понятия,   посмотрим   на   доску.   Как   найти   приращение аргумента? x x   ­                        ,(слайд).  x 0 ( x 0  ) ­ А как найти приращение функции? ­       )( xf         ( xf 0      x    )      ( xf 0   )                                                   ,   (слайд) ­Хорошо,   а   теперь,   пожалуйста,   решите   задачу:   Найти   предел   отношения x приращения функции                      к приращению аргумента при              . 2 x )( xf 5 2 0 ­ Ученики решают задачу в тетрадях, затем сверяют  с слайдом. На слайде: ­   Вспомните   из   курса   геометрии   определение   тангенса   острого   угла прямоугольного треугольника. ­   Тангенс   острого   угла   прямоугольного   треугольника   –   это   отношение противолежащего катета к прилежащему. ­Хорошо,   давайте   на   примере нашей   кривой   найдем   тангенс угла  α ? На слайде: ­   А   теперь  вспомните   из   курса алгебры определение углового коэффициента линейной функции? ­ Угловой коэффициент функции равен тангенсу наклона этой функции  к оси Ох. ­ Давайте на примере нашей кривой найдем угловой коэффициент прямой. На слайде: ­ слайде: Посмотрите   на   слайд.   На ­ Как называется прямая АВ? ­Секущая. ­Что будет происходить с прямой АВ, если точка В стремится к точке А? ­Прямая АВ будет превращаться в пряму АС. ­Как будет называться прямая АС? ­Касательной. ­Что представляет собой угол ? 1 ­ Это угол между касательной и положительным направлением оси Ох. ­ Как угол  1  связан с угловым коэффициентом касательной? ­ Тангенс  1  равен угловому коэффициенту касательной. ­При каком условии для  x  секущая займет положение прямой АС? ­ В том случае, когда приращение аргумента становится всё меньше и меньше, то есть стремится к 0.  касk ­ Хорошо, из всего вышесказанномого можно сделать вывод                            .   1  tg lim  0 x tg То есть, касательная это предельное положение секущей.  На слайде: ­( ученики записывают итоговую информацию в тетрадь). ­   Итак,   давайте   обобщим   сказанное   выше.   Кто   может   подвести   итог вышесказанному для задачи о построении касательной к кривой? ­ Задача о построении касательной к кривой свелась к нахождению предела отношения приращения функции к приращению аргумента при  стремлении приращения   аргумента   к   нулю,   а   отношения   приращения   функции   к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю это предел   тангенса   угла   наклона   секущей   с   осью   Ох,   а   это,   в   свою   очередь тангенс угла наклона касательной с осью Ох, что является коэффициентом касательной.  ­ На доске слайд.  (ученики записывают вывод). ­   А   теперь   перейдем   ко   второй   задаче.   Задаче   о  определении   скорости неравномерного   движения.     Задача:   по   прямой,   на   которой   заданы   начало отсчета, единица измерения и направление, движется некоторое тело. Закон движения задан формулой s=s(t), где t­ время, s(t) – положение тела на прямой в момент времени t по отношению начала отсчета. Найти скорость движения тела в момент времени t. ( решая эту задачу ученики записывают вывод)  Для начала изобразим прямую с заданным началом отсчета, направлением. Предположим, что в момент времени  t  тело находилось в точке М. Тогда какое расстояние прошло тело? ­ Расстояние, которое прошло тело s(t)=OM.  ­Дадим аргументу t приращение ∆t и рассмотрим ситуацию в момент времени t+∆t. Что теперь можно сказать про тело? ­ В этот момент времени тело будет находиться в другой точке Р и пройдет расстояние ОР= s(t+∆t ).  ­ Найдем, какое расстояние прошла точка? От точки М в точку Р? ­ МР= s(t+∆t )­ s(t). ­ Как называется такая разность? Как она обозначается? ­ Приращением функции. И она обозначается ∆ s= s(t+∆t )­ s(t). ­ Найдем среднюю скорость движения  тела за промежуток от t до t +∆t? ­ Средняя скорость равна отношению  ­Хорошо, но нам же нужно найти мгновенную скорость. Как вы считаете, как . из средней скорости получить мгновенную? ­ Мгновенная скорость это то же, что и средняя, только при условии того, что ∆t все меньше и меньше, то есть стремится к 0. ­ Поэтому рассмотрим следующий предел, мы получили,  кто может подвести итог второй задачи? Ребята, ­   Чтобы   найти   мгновенную   скорость,   нужно   найти   среднюю   скорость   на промежутке,   а   затем   найти   предел   средней   скорости,   при   стремлении приращения времени к нулю. Слайд:  ­ Давайте сравним системы обозначений на физическом и математическом языках. Слайд: . ( далее решаются практические задачи). Рефлексивно­оценочный этап. ­Подведем итоги: Какие задачи привели к одной и той же математической модели? ­ Задача построения касательной к графику функции,   задача о нахождении мгновенной скорости неравномерного движения тела. ­Как записывается новая математическая модель? ­   f lim x  x  0 ­ Мы видим, что различные задачи из различных областей знания приводят к одной и той же математической модели. А что такое математика?  ­ Это наука о математических моделях. ­   Значит,   если   жизнь   выдвигает   на   повестку   дня   новую   модель,   дело математиков заняться изучением новой модели в отрыве от её конурентного содержания. А что для еэтого нужно? ­   ввести   названия   новой   модели,   ввести   обозначения   новой   модели, исследовать свойства новой модели, изучить сферы её приложения. ­Этим мы и займемся на следующих уроках. Домашнее задание : 1. Обязательная   часть:  Закон движения точки по прямой задается формулой s=s(t), где  t   –  время   в   секундах,  s(t)   – отклонение   точки   в   момент   времени t   (в   метрах)   от   начального положения. Найдите мгновенную скорость движения точки в момент времени t, если s(t)=3t+2. 2. Функция y=f(x) задана своим графиком. Определите предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента в точке х1, если график функции изображен на рисунке. По желанию: 1. Функция y=f(x) задана своим  графиком. Определите предел  отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента в точке х2, если график функции изображен на рисунке Поскольку   в   планировании   37­м   уроком   выступает   урок­семинар   по защите   проектов,  то  необходимо  раскрыть   суть   проектной  деятельности   и привести этот урок.