Урок по геометрии на тему "Площадь параллелограмма и треугольника" (8 класс)
Оценка 4.7
Разработки уроков
doc
математика
8 кл
02.05.2017
Учебная задача : выделить основные виды задач , решаемых на основе теорем о площади параллелограмма и треугольника , следствий из теоремы о площади треугольника , приёмы их решения , в частности приёмы метода площадей , алгебраический метод в геометрии .Учебная задача: выделить основные виды задач, решаемых на основе теорем о площади параллелограмма и треугольника, следствий из теоремы о площади треугольника, приёмы их решения, в частности приёмы метода площадей, алгебраический метод в геометрии.
Площадь параллелограмма и треугольника (2) (1).doc
Урок решения ключевых задач по теме:
«Площадь параллелограмма и треугольника»
Учебник: Геометрия: Учеб. для 79 кл. сред. шк./ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.
Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 1990. – 336с. Глава VI, §2.
Учебная задача: выделить основные виды задач, решаемых на основе теорем о площади
параллелограмма и треугольника, следствий из теоремы о площади треугольника, приёмы их
решения, в частности приёмы метода площадей, алгебраический метод в геометрии.
Диагностируемые цели:
В результате урока ученики:
знают: основные виды задач, решаемых на основе изученной теории, приёмы их
решения, в частности алгебраический метод в геометрии, приёмы метода площадей;
умеют: применять формулы нахождения площадей параллелограмма и треугольника,
следствия 1 и 2, теорему об отношении площадей треугольников имеющих по равному углу в
соответствующих задачных ситуациях;
понимают: когда и как применяется та или иная теорема, формула, метод, приём. Метод обучения: метод укрупнения дидактических единиц,
репродуктивный метод.
частичнопоисковый,
Форма работы: фронтальная.
Средства обучения: доска, мел, учебник, тетрадь, ручка, карандаш, линейка.
Структура урока:
I.Мотивационноориентировочный этап (10 минут)
II.Содержательный этап (32 минут)
III.Рефлексивнооценочный этап (3 минут)
2 Ход урока:
Деятельность учителя.
Деятельность учащихся.
I. Мотивационноориентировочный этап.
Актуализация:
К началу урока учитель на доске делает рисунки, к которым потом даются задачи. Идёт фронтальная
работа, учитель устно просит решить учеников каждую из задач.
а = 16 см
h = 5 см
S = ?
а Рис.1
a = 10 см
h = 4 см
S = ?
a Рис. 2
А АВС – прямоуг.
C = 900
В = 300
АВ = 60 см
ВС = 48 см
S = ?
C В Рис. 3
Задача 1. На рис.
1 изображён
параллелограмм. Найдите его площадь,
если его основание равно 16 см, высота 5
см.
Чем вы пользовались при решении этой
задачи?
Сформулируйте её.
На рис.
Задача 2.
2 изображён
треугольник. Найдите его площадь, если
основание равно 10 см, высота равна 4 см.
Чем вы пользовались при решении этой
задачи?
Сформулируйте её.
На рис.
АВС.
3 изображён
Задача 3.
прямоугольный
Найдите его
площадь, если В = 300, АВ = 60 см, ВС =
48 см
Какое свойство вы применяли, когда
находили АС?
Чем вы пользовались при подсчёте
площади?
Сформулируйте его.
Решение:
S =
5
16 = 80 (см2)
Теоремой о площади параллелограмма.
Площадь параллелограмма равна произведению его
основания на высоту,
т.е.: S = ah
Решение:
S
20
10
(см2)
4
1
2
Теоремой о площади треугольника.
Площадь треугольника равна половине произведения его
основания на высоту,
S
т.е.:
1
2
Решение:
ah
.
ÀÑ
ÂÑ
S
1
2
АС =
S
1
2
1
2
ÀÑ
1
2
1
2
ÀÂ
60
30
(см)
ÂÑ
48
30
720
(см2)
В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла
в 300 равен половине гипотенузы.
Следствием 1 из теоремы о площади треугольника.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине
произведения его катетов,
т.е.:
S
1
2
ab
3 А А1
АН = А1Н1
ВС = 24 см
В1С1 = 16 см
S
S
ABC
CBA
111
Задача 4. На рис. 4 изображены два
треугольника. Найдите соотношение их
площадей, если: АН = А1Н1, ВС = 24,
В1С1= 16.
В С В1 С1
Н Н1
Рис. 4
Решение:
АН и А1Н1 – высоты треугольников, АН = А1Н1.
ВС и В1С1 – основания треугольников.
S
S
1
24
16
1
2
BC
CB
1
1
3
2
?
ÀÂÑ
ÑÈÀ
11
1
Следствием 2 из теоремы о площади треугольника.
Если высоты двух треугольников равны, то их площади
относятся как основания.
Чем вы пользовались при решении этой
задачи?
Сформулируйте его.
Мотивация:
На прошлых занятиях вы изучили теоремы
о площади параллелограмма
и
треугольника, 2 следствия из теоремы о
площади треугольника,
теорему об
отношении площадей треугольников
имеющих по равному углу, решали
простейшие задачи на применение этих
теорем.
Необходимо переходить к
решению более сложных задач, в том
числе, из учебника.
Постановка цели урока:
Поэтому, целью сегодняшнего урока
является рассмотрение основных видов
задач, решаемых на основе изученной
теории, выделение приёмов, методов их
решения.
II. Содержательный этап.
Идёт фронтальная работа учителя с классом. Т.к. как задачи ключевые, то все учащиеся записывают себе
решения этих задач как образец.
Учитель сначала просит записать домашнее задание: № 465, 470, 474, 502.
Решим № 461.
Смежные стороны параллелограмма равны
12 см и 14 см, а его острый угол равен 300.
Найдите площадь параллелограмма.
Дано: АВСД параллелограмм, АВ = 12см, АD = 14 см,
ВАD = 300.
Найти: SАВСD.
По какой формуле находится площадь
Решение:
Отвечают учащиеся:
4 параллелограмма?
Что нам известно, а что надо найти,
чтобы воспользоваться этой формулой?
площадь параллелограмма равна произведению его
основания на высоту.
BH
Т.е.
Нам известно основание: AD = 14 см. Нужно найти, чему
равна высота BH.
(на рисунке изображается высота)
S ÀBCD
AD
Пишут в тетрадях, а учитель на доске:
1).
S ÀBCD
BH
AD
, где ВН – высота ABCD, AD = 14 см
В какой треугольник ВН входит как
сторона?
Рассмотрим ВАН, что нам известно в
нём?
В АBH прямоугольный
2). АBH прямоугольный, т.к. ВН – высота АВСD,
ВНА = 900, ВАН = 300, АВ = 12см.
Чем являются АВ и ВН в прямоугольном
треугольнике?
АВ – гипотенуза, ВН – катет.
ВН лежит против угла в 300.
В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против
угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.
(Продолжение записи в пункте 2).):
Значит, BH =
АВ =
1
2
6
12
6
(см).
1
2
(см2).
S
84
14 ABCD
3).
Ответ: 84 см2
Записали формулу площади, нашли неизвестное.
Нашли прямоугольный треугольник с 300 и нашли
неизвестный нам элемент.
подставили найденное значение в формулу площади.
Против какого угла лежит катет ВН в
АBH?
Какой факт мы можем использовать?
Значит, в пункте 2) решения можно найти
ВН.
Подставьте найденное значение в
формулу.
Что мы сделали в пункте 1).?
Далее, что мы сделали в пункте 2).?
А что сделали в пункте 3).?
Сформулируем и запишем этапы
решения данной задачи:
1. Записать формулу площади, выделить
неизвестный элемент.
2. Найти прямоугольный треугольник,
является
стороной
неизвестная величина, а острый угол в
нем равен 300.
которого
3. Найти неизвестную величину.
4. Подставить найденное значение в
формулу, выполнить вычисления.
В учебнике есть достаточно много задач,
решаемых по данной схеме. Например, в
домашней работе это № 465.
№ 469.
Стороны АВ и ВС треугольника АВС
равны соответственно 16 см и 22 см, а
высота, проведённая к стороне АВ, равна
11 см. Найдите высоту, проведённую к
Дано: АВС, АВ = 16см, ВС = 22см,
СН2, АН1 высоты АВС, СН2 = 11см.
Найти: АН1
5 стороне ВС.
В какой теореме используется высота
треугольника?
Как выражается площадь треугольника?
Решение:
В теореме о площади треугольника.
Площадь треугольника равна половине произведения его
основания на высоту, т.е.:
S
1
2
ah
.
Так как в задаче рассматриваются две
высоты одного и того же треугольника, то
запишем площадь этого треугольника
двумя способами.
Итак, левые части равны. Тогда равны и
правые части.
Выразите искомую величину из
последнего равенства и найдите её.
Чем пользовались при решении этой
задачи?
В условии и заключении данной задачи
речь о площадях не идёт, но в ходе её
решения понятие площади используется и
приводит к ответу, поэтому говорят, что
данная
задача решается методом
площадей.
Итак, зная две стороны и высоту,
проведённую к одной из сторон
треугольника, вы можете найти высоту,
проведённую к другой известной стороне,
записав площадь треугольника двумя
способами. Аналогично решается задача,
если задана одна сторона и 2
соответствующие высоты, тогда можно
найти вторую сторону треугольника.
Аналогично вы будите решать № 470 в
домашней работе.
BC
AB
AH
1
CH
2
1
2
1
2
AH
1).
S ABC
2).
3).
S ABC
1
2
BC
4).
AH
1
AB
1
1
2
CH
BC
AB
CH
или
BC
2
AH
1
AB
CH
1
16
11
22
8
(см)
Ответ: AH1 = 8 см.
Теоремой о площади треугольника.
2
6 № 472.
Площадь прямоугольного треугольника
равна 168 см2. Найдите катеты, если
отношение их длин равно
7
12
.
Дано: АВС – прямоугольный, А = 900, SАВС = 168 см2,
АВ:АС = 7:12.
Найти: АВ, АС.
В
А С
Решение:
(Если ученики затрудняются ответить, тогда отвечает
сам учитель).
Т.к. АВ:АС = 7:12, то обозначим:
1). АВ = 7х, АС = 12х,
где х – некоторая общая составная часть.
По первому следствию из теоремы о площади
треугольника: площадь прямоугольного треугольника равна
половине произведения его катетов.
1
2
2).
AC
AB
S ABC
Подставим все известные и обозначенные величины:
168
õ 12
7
õ
1
2
х2 = 4
х = 2
Так как длина отрезка не может быть отрицательным
числом, то х = 2.
3). АВ = 7х =
АС = 12х =
27 = 14 (см)
12 = 24 (см)
Ответ: АВ = 14 см, АС = 24см.
2
Разберёмся в условии: АВ:АС = 7:12.
Что это означает?
Это означает, что длины катетов можно
записать следующим образом:
Как
прямоугольного треугольника?
выражается
площадь
Известна площадь АВС:
Тогда можно найти х, решив уравнение:
Подставим найденное значение х:
При решении данной задачи, исходя из
условия для катетов, была введена
неизвестная величина х, и тогда всё
решение свелось к решению некоторого
уравнения.
Такой метод решения геометрических
задач называется алгебраическим.
Иногда вводятся 2 неизвестные величины
и решение сводят к решению системы
уравнений. Аналогично вы будете решать
№ 502 из домашнего задания.
7 № 473.
Через вершину С треугольника АВС
проведена прямая
параллельная
стороне АВ.
что все
треугольники с вершинами на прямой m и
основанием АВ имеют равные площади.
Докажите,
m,
Чему равна площадь треугольника?
Чтобы записать площадь,
провести высоты.
Запишем площади треугольников.
нужно
Что общего в рассматриваемых
треугольниках?
Как расположены прямые m и АВ?
Чем определяется расстояние между
параллельными прямыми?
Расстояние – это какая это величина?
Что нам известно о треугольниках с
равными высотами?
Дано: АВС, m || AB, С m, С1 m,
Доказать:
ABC
S
S
ABC
1
С С1 m
A H H1 B
Поиск доква:
Площадь треугольника равна половине произведения его
основания на высоту, т.е.:
S
ah
.
(На рисунке изображаются высоты)
1
2
1
2
1
2
1).
S ABC
AB
CH
1
S ABC
HCAB
2)
1
АВ – общее основание.
1
m || АВ
Строится перпендикуляр к этим прямым.
3) Т.к. m || АВ, С m, С1 m,
ÑÍ
AB
и
HC
1
1
AB
, то
СН и С1Н1 – расстояния.
Постоянная, т.е. расстояние сохраняется, значит,
СН = С1Н1.
По следствию 2 из теоремы о площади треугольника: если
высоты двух треугольников равны, то их площади
относятся как основания.
4). Т.к. СН = С1Н1, то
S
S
ABC
AÂC
1
AB
AB
1
, т.е. SАВС =
1AÂCS
Что и требовалось доказать.
(Учитель на доске, а ученики в тетрадях оформляют
докво).
Докво:
1). Т.к. m || АВ, С m, С1 m,
HC
1
СН и С1Н1 – расстояния, значит, СН = С1Н1
ÑÍ
1
, то
AB
AB
и
2). Т.к. СН = С1Н1, то
т.е.
S
ABC
S
.
1AÂC
S
S
ABC
AÂC
1
AB
AB
1
(по следствию 2)
Эта задача довольно сложная, изза того,
что в ней используется понятие
расстояния между параллельными
8 прямыми.
Какие ещё расстояния вы знаете?
Расстояние от точки до прямой длина перпендикуляра,
проведённого из точки к прямой.
Высота в треугольнике показывает расстояние от вершины
треугольника до его основания. Высота в параллелограмме
показывает расстояние от любой точки противоположной
стороны к прямой, содержащей основание.
СН и С1Н1 являются как расстояниями
между 2 параллельными прямыми, так и
высотами треугольника.
Что показывает величина высоты в
треугольнике, в параллелограмме?
Здесь мы применяли Следствие 2: если
высоты двух треугольников равны, то их
площади относятся как основания. Мы
можем воспользоваться и тем, что если у
нас известны площади треугольников, то
отношения оснований можно заменить
отношением площадей.
Какова была цель урока?
III. Рефлексивнооценочный этап.
Рассмотреть основные виды задач, решаемые на основе
изученной теории, выделить приёмы, методы их решения.
Достигли ли мы её?
Да.
Как мы её достигли?
Прорешали некоторые задачи и сделали выводы.
Что вы делали в первой задаче?
Находили прямоугольный треугольник с углом в 300, т.е.
получили схему решения задачи, в которой один из
неизвестных элементов формулы площади находится из
прямоугольного треугольника с углом в 300.
Что делали во второй задаче?
Приравнивали площади, выражали искомый элемент.
Узнали, как применяется метод площадей.
Какой новый метод решения
геометрических задач рассмотрели в 3
задаче?
Какое понятие ещё раз повторили в
последней задаче?
алгебраический метод решения геометрических задач.
Высота в треугольнике показывает расстояние от вершины
треуголька до его основания. Высота в параллелограмме
показывает расстояние от любой точки противоположной
стороны к прямой, содержащей основание.
Домашнее задание:
№ 465, 470, 474, 502.
9 № 465.
Острый угол параллелограмма равен 30°, а
высоты, проведенные из вершины тупого
угла, равны 2 см и 3 см. Найдите площадь
параллелограмма.
Дано: ABCD параллелограмм, A =
высоты, BH1 = 2см, BH2 = 3см
Найти: SABCD.
30 , BH1, BH2
Решение:
1)
.
Рассмотрим ABH1 – прямоугольный, A =
30
1
2
Следовательно,
BH
1
AB
(т.к. в прямоугольном
треугольнике катет лежащий против угла в
половине гипотенузы).
AB = 2BH1 = 4 (см)
30 равен
АВ = CD = 4 см (по свойству параллелограмма).
SABCD =
CD
2BH
=
34 =12 (см2) (По теореме о
2)
3)
площади параллелограмма)
Ответ: SABCD = 12 см2
№ 470.
Две стороны треугольника равны 7,5 см и
3,2 см. Высота, проведенная к большей
стороне, равна 2,4 см. Найдите высоту,
проведенную к меньшей из данных сторон.
Дано: АВС, ВН1 и СН2 – высота треугольника, АС = 7,5
см, АВ = 3,2 см, ВН1 = 2,4 см.
Найти: СН2.
Решение:
1).
S ABC
2).
3).
S ABC
1
2
AC
4).
CH
2
AC
AB
BH
1
CH
2
1
2
1
2
BH
1
1
2
BH
AB
AC
Ответ: СН2 = 5, 625 см.
AB
CH
или
AC
BH
1
AB
CH
4,25,7
1
625,5
(см)
2
2,3
2
10 № 474.
Сравните площади двух треугольников, на
которые разделяется данный треугольник
его медианой.
Дано: АВС, BM – медиана.
Сравнить: SABM и SBMC.
В
А M H C
№ 502.
Высоты параллелограмма равны 5 см и 4
см, а периметр равен 42 см. Найдите
площадь параллелограмма.
AM
BH
MC
BH
Решение:
1
SABM =
2
1
2
SBMC =
ÀÂÌ
1
AM
MC
ÀÂÌ
BMC
ВН – высота обоих треугольников, тогда по Следствию 2:
S
S
Т.к. ВМ – медиана АВС, то АМ = МС, тогда:
S
S
Следовательно: SABM = SBMC.
Ответ: SABM = SBMC.
Дано: АВСD – параллелограмм, АН1, СН2 – высоты, АН1= 4
см, СН2 = 5 см, PABCD = 42 см.
Найти: SABCD
BMC
Решение:
1) PABCD = АВ + ВС + СD + AD = 2 (AD + CD)
2) SABCD =
SABCD =
Тогда,
ÑD
AD
ÑD
1AH
2CH
1AH
=
AD
2CH
3) Запишем следующем образом: AD = x, CD = y
,42
Тогда получим систему уравнений:
(2
õ
ó
)
.4
õ
5
ó
Решим эту систему:
11
ó
2
2|,42
2
õ
ó
.0
4
5
õ
y
,84
4
4
x
x
y
.0
4
5
x
9
.84
28
3
28
3
,42
2
2
y
x
y
11
2
3
ÑD
4) SABCD =
AH
1
114
4
y
Ответ: SABCD =
46 (см2).
2
3
2
3
46
2
3
(см2)
12
Урок по геометрии на тему "Площадь параллелограмма и треугольника" (8 класс)
Урок по геометрии на тему "Площадь параллелограмма и треугольника" (8 класс)
Урок по геометрии на тему "Площадь параллелограмма и треугольника" (8 класс)
Урок по геометрии на тему "Площадь параллелограмма и треугольника" (8 класс)
Урок по геометрии на тему "Площадь параллелограмма и треугольника" (8 класс)
Урок по геометрии на тему "Площадь параллелограмма и треугольника" (8 класс)
Урок по геометрии на тему "Площадь параллелограмма и треугольника" (8 класс)
Урок по геометрии на тему "Площадь параллелограмма и треугольника" (8 класс)
Урок по геометрии на тему "Площадь параллелограмма и треугольника" (8 класс)
Урок по геометрии на тему "Площадь параллелограмма и треугольника" (8 класс)
Урок по геометрии на тему "Площадь параллелограмма и треугольника" (8 класс)
Урок по геометрии на тему "Площадь параллелограмма и треугольника" (8 класс)
Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.