Урок по геометрии на тему "Площадь параллелограмма и треугольника" (8 класс)
Оценка 4.7

Урок по геометрии на тему "Площадь параллелограмма и треугольника" (8 класс)

Оценка 4.7
Разработки уроков
doc
математика
8 кл
02.05.2017
Урок по геометрии на тему "Площадь параллелограмма и треугольника" (8 класс)
Учебная задача : выделить основные виды задач , решаемых на основе теорем о площади параллелограмма и треугольника , следствий из теоремы о площади треугольника , приёмы их решения , в частности приёмы метода площадей , алгебраический метод в геометрии .Учебная задача: выделить основные виды задач, решаемых на основе теорем о площади параллелограмма и треугольника, следствий из теоремы о площади треугольника, приёмы их решения, в частности приёмы метода площадей, алгебраический метод в геометрии.
Площадь параллелограмма и треугольника (2) (1).doc
Урок решения ключевых задач по теме: «Площадь параллелограмма и треугольника» Учебник:  Геометрия:   Учеб.   для   7­9   кл.   сред.   шк./   Л.С.   Атанасян,   В.Ф.   Бутузов,   С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 1990. – 336с. Глава VI, §2. Учебная задача: выделить основные виды задач, решаемых на основе теорем о площади параллелограмма и треугольника, следствий из теоремы о площади треугольника, приёмы их решения, в частности приёмы метода площадей, алгебраический метод в геометрии.   Диагностируемые цели: В результате урока ученики:    знают:   основные   виды   задач,   решаемых   на   основе   изученной   теории,   приёмы   их решения, в частности алгебраический метод в геометрии, приёмы метода площадей; умеют: применять формулы нахождения площадей параллелограмма и треугольника, следствия 1 и 2, теорему об отношении площадей треугольников имеющих по равному углу в соответствующих задачных ситуациях; понимают: когда и как применяется та или иная теорема, формула, метод, приём. Метод   обучения:   метод   укрупнения   дидактических   единиц, репродуктивный метод.   частично­поисковый, Форма работы: фронтальная. Средства обучения: доска, мел, учебник, тетрадь, ручка, карандаш, линейка. Структура урока: I.Мотивационно­ориентировочный этап (10 минут) II.Содержательный этап (32 минут) III.Рефлексивно­оценочный этап (3 минут) 2 Ход урока: Деятельность учителя. Деятельность учащихся. I. Мотивационно­ориентировочный этап. Актуализация: К началу урока учитель на доске делает рисунки, к которым потом даются задачи. Идёт фронтальная работа, учитель устно просит решить учеников каждую из задач.                                                    а = 16 см                                                    h = 5 см                                                                   S = ?                                                           а                                         Рис.1 a = 10 см h = 4 см    S = ?                    a                              Рис. 2 А              АВС – прямоуг.                                         C = 900                        В = 300                        АВ = 60 см                        ВС = 48 см                       S = ?    C                В      Рис. 3 Задача   1.  На   рис.   1   изображён параллелограмм.   Найдите   его   площадь, если его основание равно 16 см, высота 5 см. ­ Чем вы пользовались при решении этой задачи? ­ Сформулируйте её.   На   рис. Задача   2.   2   изображён треугольник.   Найдите   его   площадь,   если основание равно 10 см, высота равна 4 см. ­ Чем вы пользовались при решении этой задачи? ­ Сформулируйте её.   На   рис.  АВС.   3   изображён Задача   3. прямоугольный   Найдите   его площадь, если В = 300, АВ = 60 см, ВС = 48 см ­   Какое   свойство   вы   применяли,   когда находили АС? ­   Чем   вы   пользовались   при   подсчёте площади? ­ Сформулируйте его. Решение: S =  5 16   = 80 (см2) Теоремой о площади параллелограмма. Площадь   параллелограмма   равна   произведению   его основания на высоту,  т.е.: S = ah Решение: S 20 10 (см2) 4 1 2 Теоремой о площади треугольника.  Площадь   треугольника   равна   половине   произведения   его основания на высоту,  S т.е.:  1 2 Решение: ah . ÀÑ  ÂÑ S  1 2 АС =  S  1 2 1 2 ÀÑ 1 2 1 2 ÀÂ 60 30 (см)  ÂÑ 48 30 720 (см2) В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 300 равен половине гипотенузы. Следствием 1 из теоремы о площади треугольника. Площадь   прямоугольного   треугольника   равна   половине произведения его катетов,  т.е.:  S 1 2 ab 3 А                                              А1 АН = А1Н1 ВС = 24 см В1С1 = 16 см S S ABC CBA 111 Задача   4.  На   рис.   4   изображены   два треугольника.   Найдите   соотношение   их площадей,   если:   АН   =   А1Н1,   ВС   =   24, В1С1= 16.     В                                              С  В1                                           С1                             Н                                              Н1                                                                     Рис. 4 Решение:  АН и А1Н1 – высоты треугольников, АН = А1Н1. ВС и В1С1 – основания треугольников. S S  1 24 16 1 2    BC CB 1 1 3 2  ? ÀÂÑ ÑÈÀ 11 1 Следствием 2 из теоремы о площади треугольника. Если   высоты   двух   треугольников   равны,   то   их   площади относятся как основания. ­ Чем вы пользовались при решении этой задачи? ­ Сформулируйте его. Мотивация: На прошлых занятиях вы изучили теоремы о   площади   параллелограмма   и треугольника,   2   следствия   из   теоремы   о площади   треугольника,   теорему   об отношении   площадей   треугольников имеющих   по   равному   углу,   решали простейшие   задачи   на   применение   этих теорем.   Необходимо   переходить   к решению   более   сложных   задач,   в   том числе, из учебника. Постановка цели урока: Поэтому,   целью   сегодняшнего   урока является   рассмотрение   основных   видов задач,   решаемых   на   основе   изученной теории,   выделение   приёмов,   методов   их решения. II. Содержательный этап. Идёт фронтальная работа учителя с классом. Т.к. как задачи ключевые, то все учащиеся записывают себе решения этих задач как образец. Учитель сначала просит записать домашнее задание: № 465, 470, 474, 502. Решим № 461. Смежные стороны параллелограмма равны 12 см и 14 см, а его острый угол равен 300. Найдите площадь параллелограмма. Дано: АВСД ­ параллелограмм, АВ = 12см, АD = 14 см,     ВАD = 300. Найти: SАВСD. ­   По   какой   формуле   находится   площадь Решение: Отвечают учащиеся:  4 параллелограмма? ­   Что   нам   известно,   а   что   надо   найти, чтобы воспользоваться этой формулой? ­   площадь   параллелограмма   равна   произведению   его основания на высоту.  BH Т.е.  ­ Нам известно основание: AD = 14 см. Нужно найти, чему равна высота BH. (на рисунке изображается высота) S ÀBCD AD  Пишут в тетрадях, а учитель на доске: 1).  S ÀBCD  BH AD , где ВН – высота ABCD, AD = 14 см  ­   В   какой   треугольник   ВН   входит   как сторона? ­ Рассмотрим  ВАН, что нам известно в нём?  ­ В АBH ­ прямоугольный 2).  АBH ­ прямоугольный, т.к. ВН – высота АВСD,   ВНА = 900,  ВАН = 300, АВ = 12см. ­ Чем являются АВ и ВН в прямоугольном треугольнике? АВ – гипотенуза, ВН – катет. ­ ВН лежит против угла в 300. ­   В   прямоугольном   треугольнике   катет,   лежащий   против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы. (Продолжение записи в пункте 2).): Значит, BH =  АВ =  1 2 6  12 6 (см). 1 2 (см2). S 84 14 ABCD 3).  Ответ: 84 см2 ­ Записали формулу площади, нашли неизвестное. ­   Нашли   прямоугольный   треугольник   с    300  и   нашли неизвестный нам элемент. ­ подставили найденное значение в формулу площади. ­  Против  какого   угла  лежит  катет  ВН  в АBH? ­ Какой факт мы можем использовать? ­ Значит, в пункте 2) решения можно найти ВН. ­   Подставьте   найденное   значение   в формулу. ­ Что мы сделали в пункте 1).? ­ Далее, что мы сделали в пункте 2).? ­ А что сделали в пункте 3).? ­   Сформулируем   и   запишем   этапы решения данной задачи: 1. Записать формулу площади, выделить неизвестный элемент. 2. Найти   прямоугольный   треугольник, является стороной неизвестная величина, а острый угол в нем равен 300. которого     3. Найти неизвестную величину. 4. Подставить   найденное   значение   в формулу, выполнить вычисления. ­ В учебнике есть достаточно много задач, решаемых по данной схеме. Например, в домашней работе это № 465. № 469. Стороны   АВ   и   ВС   треугольника   АВС равны   соответственно   16   см   и   22   см,   а высота, проведённая к стороне АВ, равна 11   см.   Найдите   высоту,   проведённую   к Дано: АВС, АВ = 16см, ВС = 22см,  СН2, АН1­ высоты АВС, СН2 = 11см. Найти: АН1 5 стороне ВС. ­   В   какой   теореме   используется   высота треугольника? ­ Как выражается площадь треугольника? Решение: ­ В теореме о площади треугольника. ­ Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, т.е.:  S 1 2 ah . ­   Так   как   в   задаче   рассматриваются   две высоты одного и того же треугольника, то запишем   площадь   этого   треугольника двумя способами. ­ Итак, левые части равны. Тогда равны и правые части. ­   Выразите   искомую   величину   из последнего равенства и найдите её. ­   Чем   пользовались   при   решении   этой задачи? ­ В условии и заключении данной задачи речь   о   площадях   не   идёт,   но   в   ходе   её решения понятие площади используется и приводит к ответу, поэтому говорят, что данная   задача   решается   методом площадей. ­   Итак,   зная   две   стороны   и   высоту, проведённую   к   одной   из   сторон треугольника,   вы   можете   найти   высоту, проведённую к другой известной стороне, записав   площадь   треугольника   двумя способами.   Аналогично   решается   задача, если   задана   одна   сторона   и   2 соответствующие   высоты,   тогда   можно найти вторую сторону треугольника. Аналогично   вы   будите   решать   №   470   в домашней работе. BC AB  AH 1  CH 2  1 2 1 2  AH  1).  S ABC 2).  3).  S ABC 1 2 BC 4).  AH 1  AB 1  1 2  CH BC AB  CH или BC 2  AH 1  AB CH 1  16  11 22  8 (см) Ответ: AH1 = 8 см. ­ Теоремой о площади треугольника. 2 6 № 472. Площадь   прямоугольного   треугольника равна   168   см2.   Найдите   катеты,   если отношение их длин равно  7 12 . Дано:  АВС – прямоугольный,    А = 900,  SАВС  = 168 см2, АВ:АС =  7:12. Найти: АВ, АС.     В   А                                                         С Решение: (Если ученики затрудняются ответить, тогда отвечает сам учитель). Т.к. АВ:АС = 7:12, то обозначим: 1). АВ = 7х, АС = 12х,  где х – некоторая общая составная часть. ­   По   первому   следствию   из   теоремы   о   площади треугольника: площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. 1 2 2).   AC AB S ABC Подставим все известные и обозначенные величины: 168  õ 12 7 õ 1 2 х2 = 4 х = 2 Так как длина отрезка не может быть отрицательным  числом, то х = 2. 3). АВ = 7х =  АС = 12х =  27   = 14 (см) 12   = 24 (см) Ответ: АВ = 14 см,  АС = 24см. 2 ­ Разберёмся  в условии:  АВ:АС =   7:12. Что это означает? ­ Это означает, что длины катетов можно записать следующим образом:   Как ­ прямоугольного треугольника? выражается     площадь ­ Известна площадь АВС: ­ Тогда можно найти х, решив уравнение: ­ Подставим найденное значение х: ­ При решении данной задачи, исходя из условия   для   катетов,   была   введена неизвестная   величина  х,  и   тогда   всё решение   свелось   к   решению   некоторого уравнения. Такой   метод   решения   геометрических задач называется алгебраическим. ­ Иногда вводятся 2 неизвестные величины и   решение   сводят   к   решению   системы уравнений. Аналогично вы будете решать № 502 из домашнего задания. 7 № 473. Через   вершину   С   треугольника   АВС проведена   прямая   параллельная стороне   АВ.   что   все треугольники с вершинами на прямой m и основанием АВ имеют равные площади.   Докажите,  m, ­ Чему равна площадь треугольника? ­   Чтобы   записать   площадь, провести высоты. ­ Запишем площади треугольников.   нужно ­   Что   общего   в   рассматриваемых треугольниках? ­ Как расположены прямые m и АВ? ­   Чем   определяется   расстояние   между параллельными прямыми? ­ Расстояние – это какая это величина? ­   Что   нам   известно   о   треугольниках   с равными высотами? Дано:  АВС, m || AB, С m, С1 m, Доказать:   ABC S S ABC 1                       С               С1            m      A              H                H1             B Поиск док­ва: ­ Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, т.е.:  S ah . (На рисунке изображаются высоты) 1 2 1 2 1  2 1). S ABC  AB  CH 1 S ABC HCAB 2)  1 ­ АВ – общее основание. 1  ­ m || АВ ­ Строится перпендикуляр к этим прямым. 3) Т.к. m || АВ, С m, С1 m,  ÑÍ  AB и  HC 1 1 AB , то СН и С1Н1 – расстояния. ­ Постоянная, т.е. расстояние сохраняется, значит,  СН = С1Н1. ­ По следствию 2 из теоремы о площади треугольника: если высоты   двух   треугольников   равны,   то   их   площади относятся как основания. 4). Т.к. СН = С1Н1, то S S ABC AÂC 1  AB AB  1 , т.е. SАВС =  1AÂCS Что и требовалось доказать. (Учитель   на   доске,   а  ученики   в   тетрадях   оформляют док­во). Док­во: 1). Т.к. m || АВ, С m, С1 m,  HC 1 СН и С1Н1 – расстояния, значит, СН = С1Н1 ÑÍ  1 , то AB AB и  2). Т.к. СН = С1Н1, то  т.е.  S  ABC S . 1AÂC S S ABC AÂC 1  AB AB  1  (по следствию 2) ­ Эта задача довольно сложная, из­за того, что   в   ней   используется   понятие расстояния   между   параллельными 8 прямыми.  ­ Какие ещё расстояния вы знаете? ­ Расстояние от точки до прямой ­ длина перпендикуляра, проведённого из точки к прямой. ­ Высота в треугольнике показывает расстояние от вершины треугольника до его основания. Высота в параллелограмме показывает   расстояние  от  любой   точки   противоположной стороны к прямой, содержащей основание. ­ СН и С1Н1  являются как расстояниями между  2  параллельными   прямыми,   так  и высотами треугольника. ­   Что   показывает   величина   высоты   в треугольнике, в параллелограмме? ­ Здесь мы применяли Следствие 2: если высоты двух треугольников равны, то их площади   относятся   как   основания.   Мы можем воспользоваться и тем, что если у нас   известны   площади   треугольников,   то отношения   оснований   можно   заменить отношением площадей. ­ Какова была цель урока? III. Рефлексивно­оценочный этап. ­   Рассмотреть   основные   виды   задач,   решаемые   на   основе изученной теории, выделить приёмы, методы их решения. ­ Достигли ли мы её? ­ Да. ­ Как мы её достигли? ­ Прорешали некоторые задачи и сделали выводы. ­ Что вы делали в первой задаче? ­ Находили прямоугольный треугольник с углом в 300,  т.е. получили   схему   решения   задачи,   в   которой   один   из неизвестных   элементов   формулы   площади   находится   из прямоугольного треугольника с углом в 300.  ­ Что делали во второй задаче? ­   Приравнивали   площади,   выражали   искомый   элемент. Узнали, как применяется метод площадей. ­   Какой   новый   метод   решения геометрических   задач   рассмотрели   в   3 задаче? ­   Какое   понятие   ещё   раз   повторили   в последней задаче? ­ алгебраический метод решения геометрических задач. ­ Высота в треугольнике показывает расстояние от вершины треуголька   до   его   основания.   Высота   в   параллелограмме показывает   расстояние  от  любой   точки   противоположной стороны к прямой, содержащей основание. Домашнее задание: № 465, 470, 474, 502. 9 № 465.  Острый угол параллелограмма равен 30°, а высоты,   проведенные   из   вершины  тупого угла, равны 2 см и 3 см. Найдите площадь параллелограмма. Дано: ABCD­ параллелограмм, A =  высоты, BH1 = 2см, BH2 = 3см Найти: SABCD. 30 , BH1, BH2 ­  Решение: 1) . Рассмотрим   ABH1 – прямоугольный,   A =  30 1 2 Следовательно,  BH 1  AB (т.к. в прямоугольном  треугольнике катет лежащий против угла в  половине гипотенузы). AB = 2BH1 = 4 (см) 30  равен  АВ = CD = 4 см  (по свойству параллелограмма). SABCD =  CD  2BH =  34  =12 (см2) (По теореме о  2) 3) площади параллелограмма) Ответ: SABCD = 12 см2 № 470. Две стороны треугольника равны 7,5 см и 3,2   см.   Высота,   проведенная   к   большей стороне,   равна   2,4   см.   Найдите   высоту, проведенную к меньшей из данных сторон. Дано:  АВС, ВН1  и СН2  – высота треугольника, АС = 7,5 см, АВ = 3,2 см, ВН1 = 2,4 см. Найти: СН2. Решение:  1).  S ABC 2).  3).  S ABC 1 2 AC 4).  CH 2  AC AB  BH 1  CH 2 1 2 1 2  BH  1  1 2  BH AB AC Ответ: СН2 = 5, 625 см. AB  CH  или  AC  BH 1  AB CH 4,25,7 1   625,5  (см) 2  2,3 2 10 № 474. Сравните площади двух треугольников, на которые разделяется данный треугольник его медианой. Дано: АВС, BM – медиана. Сравнить: SABM и SBMC.                                          В А                          M         H             C № 502. Высоты параллелограмма равны 5 см и 4 см,   а   периметр   равен   42   см.   Найдите площадь параллелограмма. AM  BH MC  BH Решение: 1 SABM =  2 1 2 SBMC =  ÀÂÌ 1 AM MC ÀÂÌ  BMC ВН – высота обоих треугольников, тогда по Следствию 2: S S Т.к. ВМ – медиана АВС, то АМ = МС, тогда: S S Следовательно: SABM = SBMC. Ответ: SABM = SBMC. Дано: АВСD – параллелограмм, АН1, СН2 – высоты, АН1= 4 см, СН2 = 5 см, PABCD = 42 см.  Найти: SABCD BMC Решение: 1) PABCD = АВ + ВС + СD + AD = 2 (AD + CD) 2) SABCD =  SABCD =  Тогда,  ÑD  AD  ÑD  1AH 2CH 1AH = AD  2CH 3) Запишем следующем образом: AD = x, CD = y ,42 Тогда получим систему уравнений:   (2 õ ó )   .4 õ 5 ó  Решим эту систему: 11    ó 2 2|,42 2 õ    ó .0 4 5 õ    y ,84 4 4 x    x y .0 4 5   x 9 .84 28 3 28  3  ,42  2 2 y x y 11 2 3 ÑD 4) SABCD =   AH 1  114 4 y Ответ: SABCD =  46 (см2). 2 3 2 3  46 2 3 (см2) 12

Урок по геометрии на тему "Площадь параллелограмма и треугольника" (8 класс)

Урок по геометрии на тему "Площадь параллелограмма и треугольника" (8 класс)

Урок по геометрии на тему "Площадь параллелограмма и треугольника" (8 класс)

Урок по геометрии на тему "Площадь параллелограмма и треугольника" (8 класс)

Урок по геометрии на тему "Площадь параллелограмма и треугольника" (8 класс)

Урок по геометрии на тему "Площадь параллелограмма и треугольника" (8 класс)

Урок по геометрии на тему "Площадь параллелограмма и треугольника" (8 класс)

Урок по геометрии на тему "Площадь параллелограмма и треугольника" (8 класс)

Урок по геометрии на тему "Площадь параллелограмма и треугольника" (8 класс)

Урок по геометрии на тему "Площадь параллелограмма и треугольника" (8 класс)

Урок по геометрии на тему "Площадь параллелограмма и треугольника" (8 класс)

Урок по геометрии на тему "Площадь параллелограмма и треугольника" (8 класс)

Урок по геометрии на тему "Площадь параллелограмма и треугольника" (8 класс)

Урок по геометрии на тему "Площадь параллелограмма и треугольника" (8 класс)

Урок по геометрии на тему "Площадь параллелограмма и треугольника" (8 класс)

Урок по геометрии на тему "Площадь параллелограмма и треугольника" (8 класс)

Урок по геометрии на тему "Площадь параллелограмма и треугольника" (8 класс)

Урок по геометрии на тему "Площадь параллелограмма и треугольника" (8 класс)

Урок по геометрии на тему "Площадь параллелограмма и треугольника" (8 класс)

Урок по геометрии на тему "Площадь параллелограмма и треугольника" (8 класс)

Урок по геометрии на тему "Площадь параллелограмма и треугольника" (8 класс)

Урок по геометрии на тему "Площадь параллелограмма и треугольника" (8 класс)

Урок по геометрии на тему "Площадь параллелограмма и треугольника" (8 класс)

Урок по геометрии на тему "Площадь параллелограмма и треугольника" (8 класс)