Урок по математике в 9 классе - алгебра

Разработка урока в 9 классе по алгебре.

ТЕМА:   «СУММА n ПЕРВЫХ ЧЛЕНОВ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ».

ЦЕЛИ УРОКА:

1.    Знать формулу n первых членов арифметической прогрессии.

2.    Уметь использовать формулу суммы при решении задач.

3.    Выработать навык решения задач с использованием формул суммы n первых членов арифметической прогрессии.

 

ОБОРУДОВАНИЕ К УРОКУ:

1.    Портрет К.Ф.Гаусса.

2.    Карточки устного счета.

3.    Карточки (с обратной стороны формула).

4.    Проверочная работа на карточках.

5.    Оценочные таблицы.

 

ЭПИГРАФ К УРОКУ:

Стевин писал: «мы приходим к выводу, что

не существует никаких абсурдных,

иррациональных, неправильных, необъяснимых

или глухих чисел, но что среди чисел

существует такое совершенство

и согласие, что нам надо размышлять

 дни и ночи над их удивительной закономерностью».

 

ХОД УРОКА:

1.    Организационный момент.

 

Здравствуйте, ребята. Очень приятно видеть вас сегодня такими красивыми и сосредоточенными. Надеюсь, что наш урок будет результативным и плодотворным.

Сегодняшними помощниками будут являться оценочные таблицы, в которые вы должны будете вносить определенное количество баллов, за определенные моменты урока.

ОЦЕНОЧНЫЙ ЛИСТ

	баллы	Свой балл
1.Устный счет.	1-3
2.Нахождение суммы.	1-5
3.работа по карточкам.	2
4.Проверочная работа.	3
5.Активность (осмысление)	2

 

2.    Устный счет.

Вы уже познакомились с числовыми последовательностями и умеете устанавливать закономерности.  Предлагаю установить закономерность и продолжить последовательность:

 

а) 6, 8, 10, …                     1)Назовите следующий член последовательности;

б) 25, 21, 17, …                 2)Укажите закономерность;

                                            3) Как называется данная последовательность?

                                            4) Найдите 10-й член этой последовательности.

                                            5)Как найти n-й член любой последовательности?

                                            6) Найдите сумму первых двух (трех) чисел.

 

Давайте подведем итог и поставим баллы в оценочную таблицу.

 

3.    Новый материал.

 

Ребята, сегодня мы с вами будем изучать тему   «Сумма n первых членов арифметической прогрессии», запишите тему в тетрадь.

У меня к вам будет несколько вопросов и заданий:

 

1.Какая числовая последовательность называется арифметической прогрессией? (Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией).

 

2.Назовите формулу n – го члена арифметической прогрессией. (

Найдите сумму всех натуральных чисел от 1 до 100.

       1+2+3+4+5+…+100                  (Как вы  получили данный результат?)               (5050)

 

С этим заданием связан интересный эпизод из жизни немецкого математика К.Ф.Гаусса. Когда ему было 9 лет, учитель, занятый проверкой работ учеников других классов, задал на уроке следующую задачу: «Сосчитать сумму всех натуральных чисел от 1 до 40 включительно:  1+2+3+…+40». Каково же было удивление учителя, когда один из учеников (это был Гаусс) через минуту воскликнул: «Я уже решил!» большинство учеников после долгих подсчетов получили неверный результат. В тетради Гаусса было только одно число, но зато верное. Вот схема его рассуждений: «сумма чисел в каждой пар равна 41

 

+1,  2,   3,    4,  …, 40

40, 39, 38, 37, …, 1

----------------------------

41, 41, 41, 41, …, 41

 

Таких пар 20, поэтому искомая сумма равна        41*20=820».

 

Что же, попробуем применить эти рассуждения для решения нашей задачи:

 

+S = 1+2+3+4+5+…+100

S = 100+99+98+97+96+…1

--------------------------------------

2S = 101+101+101+101+101+…+101

2S = 101*100

S = (101*100):2=5050

Какой вывод мы можем сделать?

 

Для того, чтобы найти сумму n первых членов арифметической прогрессии достаточно знать следующее…

 

Пусть (а_n) – арифметическая прогрессия, а₁, а₂, а₃, …, а_n, …, где  S_n – сумма n первых членов этой прогрессии.

S_n = a₁ + a₂ + … + a_n-1 + a_n

Запишем  S_n  двумя способами:

S_n = a₁ + a₂ + … + a_n-1 + a_n

S_n = a_n  + a_n-1  + … + a₂ + a₁

По определению арифметической прогрессии эти равенства можно записать так:

+S_n = a₁ + (a₁ + d) + (a₁ + 2d) + … + (a₁ + (n-1)d)

S_n = a_n + (a_n – d) + (a_n – 2d) + … + (a_n – (n-1)d)

------------------------------------------------------------   

2S_n = (a₁ + a_n) + (a₁ + a_n) + … + (a₁ + a_n)

                        N  слагаемых

 

Следовательно, 2S_n = (a₁ + a_n) * n, откуда S_n =

 

Запишем данную формулу в тетрадь и подведем итог в оценочной таблице. Максимум тому, кто верно нашел сумму.

 

4.    Закрепление.

 

Достоверность этой формулы мы можем проследить в учебнике.

 

Закрепим данную формулу: найдем сумму шестидесяти первых четных натуральных чисел. ( a_n) – арифметическая прогрессия:   2, 4, 6, 8, …

a₁  = 2        a_n = 2n = 2*60 = 120 = a₆₀

n = 60         S₆₀ =

 

Сейчас поработаем в группах, на карточках даны задания. Ваша задача найти сумму n первых членов арифметической прогрессии и занести свой ответ в карту ответов.

К – 1:         a₁ = 1,               a_n = 20,              n = 50                                 (S₅₀ = 525)

К – 2:         a₁ = -1,              a_n = -40,             n = 20                                 (S₂₀ = -410)

К – 3:         a₁ = 1,               a_n = 200,             n = 100                              (S₁₀₀ = 10050)

К – 4:         a₁ = 2,               a_n = 100,             n = 50                                 (S₅₀ = 2550)

К – 5:         a₁ = -2,              a_n = -60,             n = 10                                  (S₁₀ = -310)

К – 6:         a₁ = ,               a_n = 25,             n = 11                                  (S₁₁ = 143)

К – 7:         a₁ = -,              a_n = 13,             n = 8                                    (S₈ = 52)

К – 8:         a₁ = 48,             a_n = 3,                 n = 11                                  (S₁₁ = 280,5)

К – 9:         a₁ = 7,               a_n = 55,               n = 13                                   (S₁₃ = 403)

К – 10:         a₁ = 2,             a_n = 80,               n = 40                                   (S₄₀ = 1640)

К – 11:         a₁ = 56,           a_n = 26,              n = 11                                    (S₁₁ = 451)

К – 12:         a₁ = 3,              a_n = 75,              n = 15                                   (S₁₅ = 585)

В результате заполнения карты ответов на обратной стороне появляется формула:

 

S_n =

 

Да, ребята, есть еще одна формула суммы n первых членов арифметической прогрессии. Если в формулу S_n =  подставить вместо a_n, формулу  члена , то получим данную формулу.

 

Те, кто верно справился с заданием на карточках, заполнит оценочную таблицу, проставив баллы. Давайте попробуем закрепить нашу формулу: найдите сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии, если а₁ = -5, d = 0,5.

По условию а₁ = -5, d = 0,5,n = 12, тогда по формуле  S_n =  находим

  S₁₂ =

 

5.    Проверочная работа.

 

Найдите сумму n первых членов арифметической прогрессии:

 

I.             Вариант: Найдите десятый член арифметической прогрессии и сумму ее первых десяти членов, если а₁ = -8, d = 2.

а₁₀ = а₁ + 9d = -8+9*2=-8+18=10

S₁₀ =

 

II.            Вариант: Найдите девятый член арифметической прогрессии и сумму ее первых девяти  членов, если а₁ = 2, d = -4.

а₉ = а₁ + 8d = 2-4*8=2-32=-30

S₉ =

 

На обратной стороне доски записано решение. Проверьте свои результаты и оцените работу в оценочных таблицах.

 

6.    Домашнее задание.

§ 29 стр. 143 № 391, 392, 393(2)

 

7.    Итог урока.

 

Вопрос: Рассуждения какого ученого нам сегодня помогли?

                Сколько формул существует для нахождения суммы?

 

Подведем итог нашей работы и внесем в последнюю графу свои баллы. Подсчитайте количество баллов и оцените работу:       13 – 15 –«5»

10 – 12 – «4»

7 – 9 – «3»   Сдайте оценочные таблицы.

 

 

Приложение.

 

 

 

Карточки устного счета

 

 

6,   8,   10,   …

 

 

25,   21,   17,   …

 

 

Карточки с формулой на обороте и карта ответов

 

К – 5:         a1 = -2,              an = -60,             n = 10	К – 11:         a1 = 56,             an = 26,             n = 11	К – 1:         a1 = 1,         an = 20,              n = 50	К – 6:         a1 = ,               an = 25,             n = 11	К – 8:   a1 = 48,              an = 3,                n = 11	К – 4:     a1 = 2,               an = 100,             n = 50
К – 9:       a1 = 7,               an = 55,               n = 13	К – 2:         a1 = -1,              an = -40,             n = 20	К – 7:         a1 = -,              an = 13,             n = 8	К – 12:         a1 = 3,                an = 75,             n = 15	К – 3:         a1 = 1,               an = 200,             n = 100	К – 10:         a1 = 2,              an = 80,              n = 40

 

 

Обратная сторона карточек

 

Sn =

 

 

 

 

Карта ответов

 

-310	451	525	143	280,5	2550
403	-410	52	585	10050	1640

                    

 

Проверочная работа

I.             Вариант: Найдите десятый член арифметической прогрессии и сумму ее первых десяти членов, если а₁ = -8, d = 2.

 

II.            Вариант: Найдите девятый член арифметической прогрессии и сумму ее первых девяти членов, если а₁ = 2, d = -4.

Оценочный лист

ОЦЕНОЧНЫЙ ЛИСТ

	баллы	Свой балл
1.Устный счет.	1-3
2.Нахождение суммы.	1-5
3.работа по карточкам.	2
4.Проверочная работа.	3
5.Активность (осмысление)	2

ОЦЕНОЧНЫЙ ЛИСТ

	баллы	Свой балл
1.Устный счет.	1-3
2.Нахождение суммы.	1-5
3.работа по карточкам.	2
4.Проверочная работа.	3
5.Активность (осмысление)	2