урок по теме "ОБЪЕМ ТЕЛА. СВОЙСТВА ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА"

У р о к   3 ТЕМА: ОБЪЕМ ТЕЛА. СВОЙСТВА ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА Ц е л и :  повторить понятие площади плоских фигур, ввести понятие объема тела,   единиц   измерения   объемов   тел;   изучить   основные   свойства   объемов   и прямоугольного   параллелепипеда;   познакомить   учащихся   с   принципом Кавальери; развивать логическое мышление учащихся. Х о д   у р о к а I. Проверка домашнего задания. 1. П р о в е р и т ь   по тетрадям решение учащимися задач № 1190 (б) и № 1234 (б). 2.  По   готовому   на   доске   чертежу   параллелепипеда  п о с т р о и т ь   сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через: а) точки D, С и В1; б) точки В, K и L, где K – середина ребра АА1, а L – середина СС1. (Это задача № 1235 на с. 337 учебника.) Р е ш е н и е а) проводим  отрезок   СВ1,  затем  строим  прямую DА1, параллельную В1С. Параллелограмм СDА1В1 – искомое сечение. б) По условию АK = KА1 и СL = C1L. Проводим отрезки KВ и BL. Проводим отрезок D1L, параллельный отрезку KВ.Соединяем отрезком точки K и D1, принадлежащие одной плоскости АDD1А1. Параллелограмм KВLD1 – искомое сечение. II. Изучение нового материала. 1. П о в т о р и т ь   понятие площади плоской фигуры. 2.  П о н я т и е   объема   тела   вводится   по   аналогии   с   понятием   площади плоской фигуры. За единицу измерения объемов примем куб, ребро которого равно единице измерения отрезков. Куб с ребром 1 см называется кубическим сантиметром и обозначается так: 1 см3. Аналогично определяются кубический метр (м3), кубический миллиметр (мм3) и т. д. 3.  П р о ч и т а т ь   по   учебнику   текст  (с. 314  и  315)   и   записать   в  тетрадях основные свойства объемов: 1) Равные тела имеют равные объемы. 2) Если тело составлено из нескольких тел, то его объем равен сумме объемов этих тел (рис. 347):  V = V1 + V2. 4. Р а з о б р а т ь   по рисунку учебника (рис. 348) принцип Кавальери. 5. Когда мы говорим о размерах комнаты, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, то обычно употребляем слова «длина», «ширина» и «высота», имея в виду длины трех ребер с общей вершиной. В геометрии эти три величины объединяются   общим   названием:   измерения   прямоугольного   параллелепипеда (рис. 349, с. 317 учебника). 6. У прямоугольника два измерения – длина и ширина. При этом, как мы знаем,   квадрат   диагонали   прямоугольника   равен   сумме   квадратов   двух   его измерений   (по   теореме   Пифагора   для   прямоугольника).   Оказывается,   что аналогичным   свойством   обладает   и   прямоугольный   параллелепипед:   квадрат диагонали   прямоугольного   параллелепипеда   равен   сумме   квадратов   трех   его измерений. (Используя  рисунок 349,  провести  доказательство  этого  свойства. Рисунок 349 заранее начертить на доске.) Доказательство записывать на доске и в тетрадях:2; 2 = АС2 + СС1 АС1 АС2 = АВ2 + АD2; СС1 = ВВ1 = АА1, 2 = АВ2 + АD2 + АА1 2.    АС1 следовательно, 7.   Еще   одно   свойство   прямоугольного   параллелепипеда.   Мы   знаем,   что площадь прямоугольника равна произведению его измерений. Аналогично объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений.    V a b c Для доказательства этого утверждения воспользуемся принципом Кавальери (прочитать доказательство по учебнику на с. 317–319, используя рисунок 350). 8. В прямоугольном параллелепипеде с измерениями a, b, c, изображенном на рисунке учебника (рис. 350, б), площадь S основания равна ас, а высота h равна боковому ребру: h = b. Поэтому формулу V = a ∙  b ∙  c можно записать в виде  то   есть  объем   прямоугольного   параллелепипеда   равен   произведению площади основания на высоту. V S h  , III. Выполнение упражнений и решение задач. 1. Р е ш и т ь   задачу № 1193 (б; в). Задачу № 1193 (в) решить на доске и в тетрадях. Р е ш е н и е a =  39 ; b = 7; с = 9. Найти диагональ d. d2 = a2 + b2 + c2 (свойство диагонали прямоугольного параллелепипеда). d2 = ( 39 )2 + 72 + 92 = 39 + 49 + 81 = 169; d = 169 = 13. О т в е т : 13. Задачу № 1193 (б) учащиеся решают самостоятельно. Р е ш е н и е а = 8; b = 9; с = 12. Найти d. d2 = a2 + b2 + c2 = 82 + 92 + 122 = 64 + 81 + 144 = 289; d1 = 289 = 17;d2 = – 289 = –17 не удовлетворяет условию задачи. О т в е т : 17. 2. Р е ш и т ь   задачу № 1194 на доске и в тетрадях. Ребро куба равно а. Найти диагональ этого куба. d2 = a2 + a2 + a2 = 3a2; Р е ш е н и е О т в е т :   a 3 . 3. Р е ш и т ь   задачу № 1195. 1) V = V1 + V2. d =  23a = a 3 . Р е ш е н и е 1 3 V1 =  2) V1 –  4. Объем куба равен кубу его стороны, то есть 2 3 V1;   тогда  V =  2 3 V1 + V2. кубаV 3 a . Найдите объем куба со стороной, равной 3 см; 2 3 7 дм. 5. Р а з о б р а т ь   по учебнику решение задачи № 1198 (с. 323, используя рис. 357). Записать в тетрадях: «Объем призмы равен произведению площади основания на высоту». V призмы Sh . 6. Р е ш и т ь   задачу № 1197. Учитель объясняет решение задачи.Р е ш е н и е АС1 = 13 см; ВD = 12 см; ВС1 = 11 см. Обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда x, y, z. Применим теорему Пифагора: 1) Для Δ АВD имеем 2) Для Δ ВСС1 имеем х2 + y2 = 122. y2 + z2 = 112. (1) (2) 3) По свойству диагонали прямоугольного параллелепипеда имеем      х2 + у2 + z2 = 132. (3) 4) Подставим в равенство (3) равенство (1), получим 122 + z2 = 132, отсюда z2 = 132 – 122,   (13 12)(13 12) 2 13  2 12   тогда z =   = 5; 1 25 5) Подставим в равенство (2) значение z = 5, найдем z = 5. y2 + 52 = 112; 2 у  = 121 – 25 = 96; у = 96   4 6  16 6 у =4 6 . ; 6) Подставим значение y2 = 96 в равенство (1), получим х2 + 96 = 144; х2 = 144 – 96 = 48; x  48 7) Найдем объем   4 3  x  16 3 4 3 . ; V = x ∙  y ∙  z = 4 3 ∙  4 6 ∙  5 = 80 3 6 = = 80 18 = 80 9 2 = 240 2 (см3). О т в е т : 240 2 см3. IV. Итоги урока.  1. О б ъ я с н и т е , как измеряются объемы тел.2. С ф о р м у л и р у й т е   основные свойства объемов. 3. О б ъ я с н и т е , в чем заключается принцип Кавальери. 4. Что такое измерения прямоугольного параллелепипеда? 5.  С ф о р м у л и р у й т е   свойство   диагонали   прямоугольного параллелепипеда. 6. Чему равен объем прямоугольного параллелепипеда? Домашнее задание:   изучить  материал  пунктов  122–123;  сделать чертеж (рис. 357) и записать в тетрадях решение задач №№ 1193 (а), 1196, 1198.