Урок-семинар по геометрии на тему "Цилиндр,конус,шар" (10-11 класс)

Конспект урока: «Цилиндр, конус». Для подготовки к уроку­семинару всем учащимся необходимо выучить теоретический   материал   из   учебника  (Глава  VI,  п. 59­63).  Учащиеся   были разделены на группы, каждая группа получила задание: Цилиндр как тело вращения. Модель. Сечения цилиндра.  Развертка цилиндра. Две модели (цилиндр и его развертка). Площадь боковой поверхности цилиндра. Определение. Вывод формул для вычисления площадей боковой и полной поверхностей. Конус как тело вращения. Модель. Сечения конуса.  Развертка конуса.  Площадь   боковой   поверхности   конуса.   Определение.   Вывод   формул   для вычисления площадей боковой и полной поверхностей. Усеченный конус как тело вращения. Модель. Сечения конуса.  Площадь   боковой   поверхности   усеченного   конуса.   Определение.   Вывод формул для вычисления площадей боковой и полной поверхностей. I. подготовить   наглядный   материал   (модель,   плакат,   презентация)   к следующим темам: II. группа 10: подготовка сообщения на тему "Конические и цилиндрические сечения". В ходе подготовки к семинару проводятся консультации для учащихся во избежание   неверного   изготовления   рисунков,   моделей,   чтобы   учитель   мог координировать   учеников.   Также   требуется   дополнительная   консультация для учащихся, готовящих сообщение на тему «Конические и цилиндрические сечения» и наглядный материал к ним, поскольку этот материал в учебнике не изложен, учащимся необходимо при подготовке воспользоваться следующей литературой:  Потоскуев   Е.В.   Геометрия.   11   класс.   Учеб.   для   общеобразоват. учреждений с углублен. и проф. изучением мат–ки / Е.В. Потоскуев, Л.И. Звавич. – М.: Дрофа, 2006.  Энциклопедический словарь юного математика. – М.: просвещение, 1989, с. 147­150, 324­326. Заданные на рассмотрение пункты из учебника небольшие по объему, на подготовку   не   нужно   много   времени,   однако   о   необходимости   изготовить наглядный материал группы учащихся  оповещаются заранее.  Для   проведения   данного   семинара   целесообразно   в   классе   расставить парты в форме полукруга, чтобы учащиеся могли отвечать на небольшие по объему вопросы   с места, могли демонстрировать модели цилиндра, конуса так,   чтобы   их   видел   весь   класс.   Это     необходимо   для   поддержания дисциплины на уроке.  У   доски,   пользуясь   презентацией,   ученики   будут   рассказывать   о вычислении  площади боковой  поверхности  и  площади полной  поверхности цилиндра   и   конуса,   площади   боковой   поверхности   усеченного   конуса, рассматривать сечения цилиндра и конуса.  Поскольку   для   большинства   вопросов     к   уроку   (за   исключением цилиндрических и конических сечений) учащиеся не изучают дополнительную литературу,   каждый   из   них   должен   быть   готов   продолжить   рассказ предыдущего,   ответить   на   вопросы   учителя.   Это   способствует     более глубокому и осознанному изучению заданного на дома материала, повышению уровня   внимательности   на   уроке  в   связи   с  необходимостью   быть   готовым ответить, а также большему интересу к уроку, поскольку излагать учебный материал будут сами ученики. Тема: « Цилиндр. Конус». Тип урока: семинарское занятие по изучению нового материала. Форма работы: групповая. Средства обучения: презентация, ноутбук, проектор. Учебные задачи:  продолжить формирование представлений о пространственных фигурах на примере тел вращения;  выявить уровень овладения учащимися: o понятиями цилиндр, конус; o основными свойствами цилиндра, конуса;  выявить умения учащихся: o выводить формулы нахождения площадей поверхностей тел вращения; o строить сечения цилиндра, конуса;  развитие   пространственного   воображения,   логического   мышления, культуры устной математической речи. Диагностируемые цели: Ученик знает:  определения цилиндра, конуса; формулы площадей цилиндра, конуса; элементы цилиндра, конуса; приемы изображения цилиндра, конуса. Ученик   умеет:  характеризовать   каждый   вид   тел   вращения;   определять элементы цилиндра, конуса; изображать цилиндр, конус. Структура урока: 1. Мотивационно­ориентировочный этап (10 минут) 2. Содержательный этап (30 минут) 3. Рефлексивно­оценочный этап (5 минут) План семинара: 1) Понятие цилиндра, его элементов. 2) Формулы   площади   боковой   поверхности   цилиндра,   площади   полной поверхности цилиндра. 3) Сечения цилиндра. 4) Понятие конуса, его элементов. 5) Формулы   площади   поверхности конуса.   боковой   поверхности   конуса,   площади   полной 6) Сечения конуса. 7) Понятие усеченного конуса, его элементов. 8) Формула площади боковой поверхности усеченного конуса. 9) Подведение итогов урока, домашнее задание. Ход урока. На прошлом уроке мы изучили новые  фигуры. Какие? Какое общее название они  имеют? Вспомним, какую фигуру называется  цилиндром? Что называют цилиндрической  поверхностью?  Цилиндр, конус, усеченный конус. Тела  вращения. Тело ограниченное цилиндрической  поверхностью и 2 кругами с границами L и  L1 называется цилиндром.  α и β Рассмотрим 2 параллельные плоскости  и окружность L с центром в точке O радиуса r,   расположенную   в   плоскости  ерез каждую   точку   окружности   L   проведем .α прямую, перпендикулярную к плоскости   .   Возьмем Например,   проведем  прямые   отрезки этих прямых     и . По построению   концы   таких   отрезков,   на плоскости   L.   А   заполняют   окружность    ­ точки пересечения  .   Чα   точки   ,    с прямыми β α β β   заполняют   окружность   концы   этих   же   отрезков,   лежащие   в плоскости   L1  с центром   О1  радиуса  r  ,где  O1    ­   точка пересечения   плоскости     с   прямой, проходящей через точку О перпендикулярно к плоскости   также  и  будут лежать на этой окружности. Поверхность, образованная этими прямыми  называется цилиндрической поверхностью.  Сами прямые ­ образующими  цилиндрической поверхности. α . То есть   точки   β , то есть   осью   цилиндрической Прямая,   проходящая   через   точку   О перпендикулярно к плоскости  ,   называется поверхности.  Так   как   все   образующие   и   ось α перпендикулярны   к   плоскости   ,   то   они параллельны друг другу  По   теореме   о   том,   что,   если   две   прямые перпендикулярны одной плоскости,  то они параллельны.   называются заключенные заключенные Отрезки   образующих   цилиндрической поверхности,   между   основаниями,     называются  образующими цилиндра,   а   образованная   ими   часть цилиндрической   поверхности   называется боковой поверхностью цилиндра.  Круги  с границами L и L1 ограничивающие цилиндр  основаниями цилиндра.  Отрезки   образующих   цилиндрической   поверхности,   между основаниями,     называются  образующими цилиндра,   а   образованная   ими   часть цилиндрической   поверхности   называется боковой поверхностью цилиндра.  Ось цилиндрической называется осью цилиндра. Свойство   цилиндра:  цилиндра параллельны и равны друг другу.  Это следует из того, что отрезки  параллельных прямых, заключенные между  параллельными плоскостями равны. Тело, конической поверхностью   и   кругом   с   границей   L, называется конусом. все   образующие ограниченное поверхности         Какие еще элементы цилиндра необходимо  назвать? Каким свойством обладают образующие и  ось цилиндрической поверхности? Почему мы можем утверждать, что они  параллельны? Посмотрите на ваши модели, какие еще  элементы цилиндра вы знаете? Дайте их  определения.  Сформулируйте свойство цилиндра. Откуда это следует? Какую фигуру называют конусом? Что называют конической поверхностью? Какие элементы конуса необходимо еще  назвать? Каким свойством обладают образующие  конуса? Откуда это следует? Какую фигуру называют усеченным  конусом? Назовите основные элементы  усеченного конуса. Рассмотрим   окружность   L   с   центром   O   и радиусом  r;   прямую,   проходящую   через точку О и перпендикулярную к плоскости этой окружности. На этой прямой возьмем точку Р. Через точку Р и каждую точку окружности  проведем прямую.  Поверхность,  образованная этими прямыми, называется  конической поверхностью, а сами прямые –  образующими конической поверхности.  Точка Р называется вершиной, а прямая ОР  – осью конической поверхности. Круг с границей L ограничивающий  коническую поверхность называется  основанием конуса, вершина конической  поверхности – вершиной конуса, отрезки  образующих, заключенных между вершиной  и основанием, ­ образующие конуса, а  образованная ими часть конической  поверхности – боковой поверхностью  конуса. Ось конической поверхности  называется осью конуса, а ее отрезок,  заключенный между вершиной и  основанием, ­ высотой конуса. Все образующие конуса равны друг другу. Их равенство следует из равенства  прямоугольных треугольников, катетами  которых являются высота конуса и радиусы  основания. Возьмем   произвольный   конус   и   проведем секущую   плоскость,   перпендикулярную   к его   оси.   Эта   плоскость   пересекается   с конусом по кругу и разбивает конус на две части. Одна из частей (верхняя на рисунке) представляет   собой   конус,   а   другая называется усеченным конусом.  Основание   исходного   конуса   и   круг, полученный   в   сечении   этого   конуса плоскостью,  основаниями усеченного конуса, а отрезок, соединяющий их центры, ­ высотой усеченного конуса. поверхности, Часть конус, ограничивающая называется   его  боковой   поверхностью. конической Отрезки   поверхности,   между основаниями,   называются  образующими усеченного конуса.  Все   образующие   усеченного   конуса   равны друг другу.  образующих     называются заключенные   усеченный       конической Цилиндр как тело вращения. Модель. Сечения цилиндра.  Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника ABCD вокруг одной из его  сторон, например, AB. (демонстрирует на модели) Поэтому цилиндр является телом  вращения. При этом боковая поверхность цилиндра образуется вращением стороны CD, а  основания цилиндра – вращением сторон BC и AD. Секущая плоскость может проходить через ось цилиндра, перпендикулярно оси цилиндра,  параллельно оси цилиндра, пересекать ось цилиндра под углом. 1. Если секущая плоскость проходит через ось цилиндра, то сечение представляет собой прямоугольник,   две   стороны   которого   –   образующие,   а   две   другие   –   диаметры оснований цилиндра. Такое сечение называется осевым.  (Демонстрирует на модели) Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называется осевым сечением.  2. Если   секущая   плоскость   перпендикулярна   к   оси   цилиндра,   то   сечение   является кругом. 3. Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, представляет прямоугольник. Косые сечения цилиндра. 1. Секущая плоскость пересекает только боковую поверхность цилиндра. В этом случае сечение цилиндра ­ плоская фигура, ограниченная эллипсом. Пример такого сечения вы могли видеть при косом разрезе батона колбасы. 2. Секущая плоскость пересекает боковую поверхность и одно из оснований цилиндра. В этом   случае   сечение   цилиндра   ­   плоская   фигура,   ограниченная   эллипсом   и прямолинейным отрезком, перпендикулярным большой оси эллипса. 3. Секущая  плоскость   пересекает   боковую   поверхность   и  оба   основания   цилиндра.   В этом   случае   сечение   цилиндра   –   плоская   фигура,   ограниченная   эллипсом   и   двумя прямолинейными отрезками, перпендикулярными большой оси эллипса. Развертка цилиндра. Две модели (цилиндр и его развертка). Представим   себе,   что   боковую   поверхность   цилиндра   разрезали   по   образующей   АВ   и развернули   его   таким   образом,   что   все   образующие   оказались   расположенными   в некоторой плоскости  ABB1A1. Стороны   АВ   и  A1B1   прямоугольника   представляют   собой   два   края   разреза   боковой поверхности цилиндра по образующей АВ. Этот прямоугольник называется  разверткой боковой поверхности цилиндра. α . В результате в плоскости  α  получился прямоугольник  Площадь   боковой   поверхности   цилиндра.   Определение.   Вывод   формул   для вычисления площадей боковой и полной поверхностей. Рассмотрим   развертку   боковой   поверхности   цилиндра   ­   прямоугольник  ABB1A1. Основание   АА1  прямоугольника  ABB1A1  –   развертка   окружности   основания   цилиндра, тогда АА1=2πr,  высота АВ прямоугольника – образующая цилиндра и АВ=h. За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь его развертки.  Тогда  площадь боковой поверхности цилиндра  равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра:   Площадь полной поверхности цилиндра  равна сумме площадей боковой поверхности и двух оснований.  . . Конус как тело вращения. Модель. Сечения конуса.  Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника  SAB вокруг одного из его катетов, например,  SB. Тогда боковая поверхность конуса образуется вращением гипотенузы SA, а основание конуса – вращением катета AB.  Поэтому конус – фигура вращения. (Показывается на модели). Сечения конуса. Если   секущая   плоскость   проходит   через   ось   конуса,   то   сечение   представляет   собой равнобедренный треугольник, так как образующие конуса равны, основание которого – диаметр   основания   конуса,   а   боковые   стороны   –   образующие   конуса.   Такое   сечение называется осевым.  Если секущая плоскость перпендикулярна к оси конуса, то сечение представляет собой круг с центром расположенным на оси конуса. Конические сечения. а)  секущая  плоскость  пересекает  все   образующие   конуса  в  точках  одной  его  полости; линия пересечения ­ замкнутая овальная кривая – эллипс. Мы уже рассматривали частный случай,   когда   плоскость   перпендикулярна   оси   конуса,   ­ окружность;   (демонстрирует модель) б) секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конуса; в сечении получается незамкнутая, уходящая в бесконечность кривая ­ парабола, целиком лежащая в одной полости; в)   секущая   плоскость   пересекает   обе   полости   конуса;   линия   пересечения гипербола ­ состоит   из   двух   одинаковых   незамкнутых,   простирающихся   в   бесконечность   ветвей, лежащих на обеих полостях конуса. Развертка конуса.  Боковую поверхность конуса, как и боковую поверхность цилиндра, можно развернуть на плоскость, разрезав ее по одной из образующих.  (Показывают на модели). Разверткой боковой конуса является круговой сектор, радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса.  Площадь боковой поверхности конуса. Определение. Вывод формул для вычисления площадей боковой и полной поверхностей. За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь ее развертки. Площадь боковой поверхности конуса  равна произведению половины длины окружности основания на образующую.   Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания. Для вычисления площади полной поверхности конуса получается формула:   . Усеченный конус как тело вращения. Модель. Сечения конуса.  Усеченный   конус   может   быть   получен   вращение   прямоугольной   трапеции   вокруг   ее боковой   стороны,   перпендикулярной   к   основаниям.   На   рисунке   изображен   усеченный конус,   полученный   вращением   прямоугольной   трапеции  ABCD    вокруг   стороны  CB, перпендикулярной   к  основаниям  CD  и  AB.  При  этом  боковая   поверхность  образуется вращением боковой стороны AD , а основания усеченного конуса – вращением оснований CD и BA  трапеции.  Сечения усеченного конуса. 1. Если секущая плоскость проходит через ось усеченного конуса, то сечение представляет собой равнобедренную трапецию, так как образующие усеченного конуса равны, основания которой – основания усеченного конуса. Такое сечение называется осевым.  2.   Если   секущая   плоскость   перпендикулярна   к   оси   усеченного   конуса,   то   сечение представляет собой круг с центром, расположенным на оси усеченного конуса. Площадь боковой поверхности усеченного конуса. Определение. Вывод формул для вычисления площадей боковой и полной поверхностей. Пусть   Р   –   вершина   конуса,   из   которого   получен   усеченный   конус,   АА1  –   одна   из образующих   усеченного   конуса,     ­   центры   оснований.   Используя   формулу ,  Отсюда, учитывая, что  ,   точки     поверхности   получаем   площади   боковой   конуса находим  Выразим  .(*)  через  , Прямоугольные треугольники  подобны, так как имеют общий острый угол Р, поэтому   или  . Отсюда получаем  . Подставив это выражение в формулу (*) приходим к формуле  . Запишите домашнее задание: §1, 2, п. 59­63. №547, 521