Вводная лекция по теории вероятностей

Лекция 1. Предмет теории вероятностей. Основные понятия комбинаторики. Теория   вероятностей  –   наука,   изучающая   случайные   явления   и закономерности наступления событий. Возникновение   теории   вероятностей   как  науки  относят   к  средним   векам  и первым   попыткам  математического   анализа  азартных   игр  (орлянка,  кости, рулетка). Первоначально её основные понятия не имели строго математического вида, к ним можно было относиться как к некоторым эмпирическим фактам, как к свойствам   реальных   событий,   и   они   формулировались   в   наглядных представлениях.   Самые   ранние   работы   учёных   в   области   теории   вероятностей относятся к XVII веку. Исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, Блез   Паскаль  и  Пьер   Ферма  открыли   первые   вероятностные   закономерности, возникающие при бросании костей.  Важный   вклад   в   теорию   вероятностей   внёс  Якоб   Бернулли:   он   дал доказательство  закона   больших   чисел  в   простейшем   случае   независимых испытаний.  В  первой   половине  XIX  века  теория   вероятностей   начинает   применяться   к анализу   ошибок   наблюдений;  Лаплас  и  Пуассон  доказали   первые   предельные теоремы. Во второй половине  XIX века  основной вклад внесли русские учёные П. Л. Чебышёв, А. А. Марков и А. М. Ляпунов. В это время были доказаны закон больших   чисел,  центральная   предельная   теорема,   а   также   разработана   теория цепей   Маркова.   Современный   вид   теория   вероятностей   получила   благодаря аксиоматизации,   предложенной  Андреем   Николаевичем   Колмогоровым.   В результате   теория   вероятностей   приобрела   строгий   математический   вид   и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.    В настоящее время методы теории вероятностей находят широкое применение в различных отраслях науки. Физика. Центральным понятием созданной в 1920­е годы квантовой механики является комплексная  волновая функция, квадрат модуля которой определяет плотность вероятности   обнаружения   микрочастицы   в   данной   точке   пространства.   Если принять   такую   интерпретацию,   то   в   математической   модели   микромира случайность   неустранима.   Для   микромира   были   разработаны   специальные квантовые статистики Бозе     — Эйнштейна и Ферми         — Дирака. Биология. После   открытий  Менделя  и  Моргана  стало   понятно,   что   наследственные признаки   передаются   потомкам   путём   случайной   комбинации   одного   из   двух признаков от отца и одного из двух аналогичных признаков от матери. Случайный выбор признака отца определяет заодно пол будущего потомка. На этот процесс дополнительно   накладываются   случайные  мутации,   поэтому   вероятностные методы легли в основу генетики. Экономика. Планирование,   исследование   и   прогнозирование   экономических   явлений невозможны   без   построения   экономико­математических   моделей,   которые опираются   на   теорию   вероятностей.   Сейчас   у   банков   появляется   серьезная опасность ­ кредитный риск. Он зависит от вероятности исполнения заемщиком всех   обязательств   соглашения   по   объемам   и   срокам.   Величина   вероятности определяется   способностью   заёмщика   погашать   кредитные   обязательства.   Для определения   надежен   ли   кредитуемый,   или   нет,   банковская   организация анализирует   общую   характеристику,   личные   доходы,   собственный   капитал, экономическую   ситуацию   в   целом.   Сюда   так   же   можно   отнести   кредитовую историю   заемщика,   процент   людей,   возвративших   денежные   средства   в установленный срок того социального статуса, к которому относится заемщик и тому подобное. Анализ производится методами теории вероятностей. Астрономия.  Именно для использования в астрономии был разработан знаменитый “метод наименьших   квадратов”   (Лежандр   1805,   Гаусс   1815).   Главной   задачей,   для решения которой он был первоначально использован, стал расчет орбит комет, который   приходилось   производить   по   малому   числу   наблюдений.   Ясно,   что надежное определение типа орбиты (эллипс или гипербола) и точный расчет ее параметров оказывается трудным, так как орбита наблюдается лишь на небольшом участке. Метод оказался эффективным и универсальным. Его стали использовать в геодезии   и   картографии.   Сейчас,   когда   искусство   ручных   расчетов   утрачено, трудно представить, что при составлении карт мирового океана в 1880­х годах в Англии методом наименьших квадратов была численно решена система, состоящая из примерно 6000 уравнений с несколькими сотнями неизвестных. Промышленность. Введение   методов   статистического   контроля   на   производстве   (контрольные карты   Шухарта).   Сокращение   необходимого   количества   испытаний   качества продукции. Математические методы оказываются уже настолько важными, что их стали   засекречивать.   Так   книга   с   описанием   новой   методики,   позволявшей сократить   количество   испытаний   (“Последовательный   анализ”   Вальда),   была издана только после окончания второй мировой войны в 1947 году.  Медицина. Широкое   применение   статистических   методов   в   медицине   началось сравнительно недавно (вторая половина 20 века). Развитие эффективных методов лечения   (антибиотики,   инсулин,   эффективная   анестезия,   искусственное кровообращение)   потребовало   достоверных   методов   оценки   их   эффективности. Возникло   новое   понятие   “Доказательная   медицина”.   Начал   развиваться   более формальный, количественный подход к терапии многих заболеваний. Основные понятия теории вероятностей Теория вероятностей объясняет и исследует различные закономерности,  которым подчинены случайные события и случайные величины. Событием  является любой факт, который можно констатировать в результате наблюдения  или опыта. Наблюдением или опытом называют реализацию определенных условий, в которых событие может состояться. Все события, за которыми люди наблюдают или сами создают их, делятся на:  достоверные события;  невозможные события;  случайные события. Достоверные события наступают всегда, когда создан определенный  комплекс обстоятельств. Например, после ночи наступает утро. При  подбрасывании игрального кубика на нем выпадет число не больше шести. Невозможные   события  определенно   не   наступают,   если   создался определенный комплекс условий. Например, вода не замерзает, если температура составляет   плюс   15   градусов   по   Цельсию,   производство   не   ведется   без электроэнергии.  Случайные события при реализации определенного комплекса условий могут наступить   и   могут   не   наступить.   Например,   если   мы   один   раз   подбрасываем монету, герб может выпасть, а может не выпасть, по лотерейному билету можно выиграть,   а   можно   не   выиграть,   произведенное   изделие   может   быть   годным,   а может быть бракованным. Появление бракованного изделия является случайным событием, более редким, чем производство годных изделий. Случайные события обычно обозначают большими буквами латинского  алфавита A, B, C и т.д.  Случайные события могут быть:  несовместными;  совместными.   События   называют  несовместными,   если   появление   одного   исключает появление другого. Например, событие А: при подбрасывании кубика выпало 2 очка; событие В: выпало 5 очков. Если   наступление   одного   случайного   события   не   исключает   наступление другого события, то такие события называют  совместными. Например, событие А: при подбрасывании кубика выпало 2; при подбрасывании кубика выпало четное число очков.                                 Операции над событиями. Суммой (объединением) двух событий А и В называется событие С,  состоящее в наступлении хотя бы одного из данных событий. Пример.  А: студент на экзамене получил «4»; В: студент получил «3». С = А + В: студент получил положительную оценку. Произведением (пересечением) событий А и В называется событие С,  состоящее в наступлении двух событий одновременно. Пример. А: на кубике выпало четное число; В: выпало число, кратное трем. С = АВ  выпало число 6. Найдите сумму событий. 1) Производят два выстрела по мишени.       А: попадание с первого выстрела;       В: попадание со второго выстрела. 2) Покупают лотерейный билет. А: выигрыш 500 рублей; В: выигрыш 1000 рублей; С: выигрыш 10 000 рублей. Найдите произведение событий.      Производят два выстрела по мишени.       А: попадание с первого выстрела;       В: попадание со второго выстрела. Элементы комбинаторики Комбинаторика – раздел теории вероятностей, занимающийся решением задач на составление различных комбинаций и подсчетом количества этих комбинаций. Основные понятия комбинаторики. Факториал !      n факториалом  называется произведение всех натуральных чисел от 1 до n:                 n! =  1∙2∙3∙…∙n.    Пример.               3! =  1∙2∙3 =6. Перестановки  Pn .        Перестановками из  n  элементов называются все упорядоченные множества, состоящие из n элементов                                         Pn=n!  Пример. Сколько есть вариантов расставить 5 книг на одной полке?                                       Решение. 5!=1∙2∙3∙4∙5=120. Размещения  An m . m= n!   Размещением из n элементов по m элементов называются все упорядоченные  подмножества, состоящие из  m элементов, взятых из множества n:                                          An     Упорядоченными называются такие подмножества, результат выбора которых  зависит не только от взятых элементов, но и от того, в каком порядке взяли эти  элементы. Пример. Сколько есть вариантов в коллективе из 40 человек выбрать директора,  (n−m)! заместителя и главного бухгалтера?                                       Решение. 37!=37!∙38∙39∙40 = 40! (40−3)! 37! m= 40! An =38∙39∙40=59280. Ответ: 59 280 вариантов. m Сочетания  Cn Сочетанием из n элементов по m элементов называются все подмножества,  состоящие из  m элементов, взятых из множества n: . m= n! Cn (n−m)!m! Пример. Сколько есть вариантов в коллективе из 40 человек выделить троим путевки в  санаторий?                                       Решение. C40 40! 3 = (40−3)!∙3! = 40! 37!∙3!=37!∙38∙39∙40 37!∙1∙2∙3 =13∙19∙40=9880 Ответ: 9 880 вариантов.