Вычисление угла между прямыми.Условия параллельности и пепендикулярности прямых

  • Лекции
  • docx
  • 28.11.2024
Публикация в СМИ для учителей

Публикация в СМИ для учителей

Бесплатное участие. Свидетельство СМИ сразу.
Мгновенные 10 документов в портфолио.

Предназначен для студентов 2 курса СПО
Иконка файла материала ВЫЧИСЛЕНИЕ УГЛА МЕЖДУ ПРЯМЫМИ.docx

ГБПОУ ВО «Воронежский техникум строительных технологий»

 

 

 

 

 

 

 

МЕТОДИЧЕСКОЕ  ПОСОБИЕ

по дисциплине

Элементы высшей математики


ВЫЧИСЛЕНИЕ УГЛА МЕЖДУПРЯМЫМИ.

УСЛОВИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМЫХ


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

Воронеж

 2022

 

 


Рассмотрено  на  заседании  ПЦК естественнонаучных  дисциплин

Протокол  № _____ от _____________

Председатель  ПЦК _______ Болычева Т.В.

 

Разработана на основе Федерального государственного образовательного стандарта среднего профессионального образования для специальности 09.02.07 Элементы высшей математики


 

 

 

 


 


Настоящее пособие предназначено для студентов 2 курса ГБПОУ ВО «Воронежский техникум строительных технологий» специальности «Информационные системы»  и полностью соответствует программе по математике для СПО.  Оно может быть использовано студентами для самостоятельного изучения  раздела программы,  а также преподавателем на уроке  при изучении нового материала, для домашнего задания,  при  повторении и  подготовке к зачётной работе.

         Пособие включает в себя, помимо задач,  теоретические сведения, необходимые для решения задач раздела «Аналитическая геометрия», справочный материал, подробные решения типовых примеров, а также упражнения для самостоятельного решения.

 

 

Автор - составитель:  Сафонова  Елена  Артуровна,  преподаватель  ГБПОУ  ВО

                                     «Воронежский  техникум  строительных технологий»

 

 

 


ВЫЧИСЛЕНИЕ УГЛА МЕЖДУ ПРЯМЫМИ.

УСЛОВИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМЫХ

1. Прямые заданы общими уравнениями

Пусть прямые   заданы общими уравнениями, то есть

                                           .

Их нормальными векторами будут    

Обозначим угол между прямыми   через, а угол между их нормальными векторами - .

Возможны 2 случая:                                                                               

       1)                                                                          2)                           

                                                                                                                                                        

                                                                                                                                                                    

                                                                                                                                                                                  

                                      

                                                                                                              

                                                                                                                                                                                                         

                                                                                                                                                    

 

 

Если   то                                Если   то .

Но в любом случае  . Значит,  .

Запишем эту формулу через координаты нормальных векторов  и  .

                   (1)

а) Прямые   параллельны тогда и только тогда, когда векторы  и   коллинеарны, то есть    или

     или     .

б) Прямые   перпендикулярны тогда и только тогда, когда векторы 

 и   перпендикулярны, то есть    или

 

 

2. Прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами

Пусть прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами:

,  где   и  

Возможны два случая.

                                                                  2)           

                                                                                                                                              

                                                                                                                               

                                                                         

                                                                                                                  

                                                

                                                                                                                   

   0                                                                                0                                          

                                      

(внешний угол треугольника равен                                      

сумме двух внутренних не смежных с ним).

Но в любом случае . Значит   

              (2)

а) Если прямые  и параллельны, то   и

 - условие параллельности прямых

          б) Если прямые  и перпендикулярны, то   и   не существует, то есть знаменатель дроби  (2)    или

 - условие перпендикулярности прямых

 

3. Прямые заданы каноническими уравнениями

Пусть прямые  и заданы каноническими уравнениями, то есть

     и     .

Их направляющие векторы    и    .

Возможны два случая.

1)                                                               2)                                                     

                                                                                                         

                             

                                                                                                         

                                                                                                                  

                                                              

                                                              

     0                                                                           0                                              

Если                               Если 

Но в любом случае  . Таким образом, получаем

             (3)

а) Прямые  и с направляющими векторами  и   параллельны, когда векторы коллинеарны, то есть

   - условие параллельности прямых

б) Прямые  и перпендикулярны, если перпендикулярны их направляющие векторы, то есть   или

  - условие перпендикулярности прямых

 

РЕШИТЬ ЗАДАЧИ

1. Найдите углы наклона прямых:  а)

2. Дано уравнение прямой   Найти величину угла этой прямой с положительным направлением оси абсцисс.

3. Вычислить угол между прямыми:  а)    и   

    б)    и    ,    в)      и    .

4. Найдите углы наклона прямых:  а)    б)

5. Вычислите угол между прямыми    и   .

6. Вычислите угол между прямыми:  а)   и 

    б)    и   

7. Установить, параллельны ли прямые:  а)   и  ;

     б)    и      в)   и   .

8. Установить, перпендикулярны ли прямые:  а)  и 

     б)   и  

9. При каком значении  прямые   и    параллельны?

10. При каком значении  прямые     и    перпендикулярны?

11. Вычислите угол между прямыми:     и   .

12. Вычислите угол между прямыми:     и 

13. Вычислите угол между прямыми:      и   .

14. При каком значении  прямые    и    параллельны?

15. Через точку пересечения прямых    и   проведена прямая, параллельная прямой   Найдите её уравнение.

 

Литература

 

1.      Богомолов Н.В. Самойленко П.И. Математика: Учебник. - М.: Дрофа, 2010.

 

2.      Дадаян А.А.   Сборник задач по математике.    Учебное пособие. Гриф МО РФ, – М.: ФОРУМ: ИНФРА – М, 2013.

 

3.      Зимина О.В. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Учебный комплекс М.: Издательство МЭИ.2006.

 

  1. Лисичкин В.Т., Соловейчик Л.И. Математика в задачах с решениями: Учебное пособие. 3-е изд., стер. – СПб: Издательство «Лань», 2011. -464 с.: ил. – (Учебники для вузов. Специальная литература)

 

   

                                                              

 


 

Посмотрите также