Конспект урока

Тема урока: «Применение производной к построению графиков функций» Тип урока: изучение нового материала.   Цели: Образовательные:   ­   обобщить   знания,   полученные   при   изучении   темы   «Производная   и   её применение к построению графиков функций»;   ­   формировать   конкретные   математические   знания   и   компетентности, необходимые   для   применения   в   практической   деятельности,   для   изучения   смежных дисциплин и продолжения образования. Развивающие:   ­   развивать  умение   исследовать   функцию,   строить   графики,   анализировать, устанавливать   причинно­следственные   связи,   необходимые   соответствия   и   делать выводы; Воспитательные:   ­   формировать   коммуникативные   умения:   слушать,   представлять   результат исследований и поиска, аргументировать, работать с различными цифровыми ресурсами. Задачи: ­ научить применять производную для реализации схемы исследования функции; ­ научить строить график функции на основе проведённого исследования. Оборудование и раздаточный материал:  таблица с алгоритмом исследования  функции, карточки с заданиями.  Организационный момент: Учитель  приветствует учеников, настраивает на работу. Предлагает   проверить Ход и содержание урока: готовность рабочего места. Ученики: приветствуют учителя, проверяют готовность к уроку. Актуализация знаний: Учитель: Перед вами график  функции  y = f (x). Какие свойства функции можно определить по графику? Назовите их. Ученики дают ответы на поставленные вопросы (D(f) = R;  функция непрерывна  3) Функция возрастает  на отрезке [­2; 0,5] и на промежутке  [3; +∞), а значит,  f  '(x) > 0  на  (­2; 0,5) и на (3; +∞). Убывает на (­∞; ­2] и на  [0,5; 3], а,  значит, f '(x) < 0   на  (­∞; ­2) и на  (0,5; 3); точки минимума:  x = ­2    x = 3; наибольшее значение функции не  существует, наименьшее равно­2 при = 3; E(f) = [­2; +∞).) Учитель:  Сформулируйте алгоритм нахождения промежутков возрастания,  убывания и экстремумов функции у = f(x), заданной аналитически. Ученики:  Учащиеся формулируют: алгоритм: 1. Найти область определения функции. 2. Найти производную функции. 3. Найти критические точки. 4. Отметить на числовой прямой область определения и критические точки.  Пользуясь обобщенным методом интервалов, определить знаки производной на  полученных промежутках. 5. Пользуясь достаточными признаками, найти промежутки возрастания,  убывания и экстремумы функции. Выявление затруднений, проблемы   Учитель:  А теперь исследуйте функцию f(x) = x³ + 2x² + 3x. Ученики: работают в тетрадях. D(f) = R,  f(x) непрерывна на D ⅓   :  1 Функция ни четная, ни нечетная, непериодическая. Точки пересечения с осью х:  (0; 0) и (­3; 0), т. к. f(x) = 0, т. е.  x³ + 2x² + 3x = 0 ⅓   x (x² + 6 x + 9) = 0; Производная функции: f '(x) = x² + 4х + 3,  D(f '(x)) =R критические точки: f '(x) = 0 при х = ­3, х = ­1. Отмечаем на числовой прямой критические точки и определяем знаки    х = 0; х = ­3 с осью у: (0; 0). ⅓    x (х + 3)² = 0; ⅓ производной на полученных промежутках:   f '(x) > 0   на (­∞; ­3) и на (­1; +∞); f '(x) < 0 на  (­3; ­1), значит, f(x)  возрастает  на (­∞; ­3] и на  [­1; +∞), убывает на  [­3; ­1]. fmax = 0 при х = ­3, fmin = ­4 при х = ­1            4) Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.            5) E(f) = R      Учитель:  вы провели исследование функции. А теперь вам надо, используя                    . результаты исследования, построить график функции f(x) = x³ + 2x² + 3x. ⅓ Ученики:  выполняют задание. Ответы учащихся.  Учитель : предлагает нескольким учащимся озвучить затруднения.  Какое задание вы должны были выполнить?   Почему у вас возникли затруднения?  ­ Что вы используете для исследования функции? Ученики: Используя данные исследования, построить график функции. Не знаем способа построения графиков по данным исследования функции  Производную.  Изучение нового материала: Учитель: Сформулируйте цель вашей деятельности.  Ученики: Узнать способ построения графика, используя исследование функций с  помощью производной.  Учитель:  Сформулируйте тему урока.  Ученики:  Применение производной для построения графиков функций. Учитель:  Итак, у вас возникло затруднение при построении графика функции.  Что вы раньше использовали для построения графиков функций?  Ученики:   Таблицы с некоторыми точками, принадлежащими графику.  Учитель: Но часто точки не дают объективной картинки графика. И теперь, зная  алгоритм исследования функции, какие данные будете вносить в таблицу?  Ученики:   Нужно внести в таблицу результаты исследования функции, затем по  таблице построить график. Учитель:  Давайте заполним таблицу. Ученики: выполняют заполнение: ­ 3 х f 0 (­∞; ­3) + '(x)     f(x)       0   max (­3; ­1) _   (­1; + ∞) + ­1 0 ­4 min   Учитель:  Результаты, полученные в таблице, переносим на координатную  плоскость. 2 Что еще можно сделать, чтобы более точно построить график?  Ученики:  Можно найти несколько дополнительных точек, принадлежащих  графику функции. Первичное закрепление приобретенных знаний:  Учитель:  Что теперь необходимо сделать? Ученики: надо научиться использовать алгоритм для построения графиков).      Учитель:  Постройте теперь график функции  . f(x) = х + .       Ученики  Один ученик работает у доски, комментируя свои действия,  остальные работают в тетрадях: D (f) = (­∞; 0) U (0; + ∞),  f(x) непрерывна на D (f);  производная функции:f '(x) = 1 – 4/ x²; D(f ') = (­∞; 0) U (0; + ∞); критические точки: = 0  при х = 2 и х = ­2, точек, в которых f'() не существует – нет. Таблица: x ­2) '(x) ) f f(x   (­∞; +   ­2 0 ­4 max (­2; 0) ­   0 нет нет нет (0; 2) ­   (2; + ∞) + 2 0 4 min     x y   Дополнительные точки: 1 5  Строят график функции. Самостоятельная работа с самопроверкой по образцу: Учитель:  А теперь давайте проверим, как каждый из вас понял, как применять  4 5 построенный алгоритм. Раздаются карточки с заданиями. Ученики: выполняют задание самостоятельно, после выполнения работы  учащиеся сопоставляют свои работы с подробным образцом. Включение в систему знаний и повторение: Учитель:  Давайте теперь посмотрим, в каких заданиях ЕГЭ можно применить  полученные знания. Решаются задания из КИМов. Итог урока: Учитель:  Что нового вы сегодня узнали? Ученики: Мы узнали, как можно построить график функции с помощью  производной. Учитель:  Что вы создали? Ученики: Мы создали алгоритм построения графика. Учитель:  Оценивает работу и записывает домашнее задание. 3