Лекция по теме ". Вероятности сложных событий"

Лекция  № 2. Тема. Вероятности сложных событий Цель:  сформировать представление о сложных событиях;   усвоить новые научные понятия;   развить воображение, сообразительность, познавательный интерес;  воспитать   логическое   мышление,   внимание,   словесно­логическую память. Структура занятия. 1. Организационный момент. 3. Повторение и систематизация материала. 4. Закрепление знаний. 5. Подведение итогов занятия. 6. Домашнее задание. Литература: 1. Апанасов П.Т., Орлов М.И. Сборник задач по математике:  Учеб.пособие для техникумов. – М.: Высш. шк., 1987. – 303с.: ил.  2. Бычков А. Г. Сборник задач по теории вероятностей, математической  статистики и методам оптимизации: учебное пособие. – М.: ФОРУМ.  2008. – 224с.: ил. – («Профессиональное образование»)  3. Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней  школы: Учеб.пособие. – 2 – е изд., перераб. и доп. – М.: Наука. Гл. ред.  физ.–мат. лит., 1989. – 576 с.: ил. 4. Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика: Учеб. для  студ. сред. спец. учеб. заведений. – 3­е изд., испр. –М.: Высш. шк..,  2001.­ 336 с.: ил. 5. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и  математическая статистика: Учебник. – М.: ФОРУМ: ИНФРА – М,  2003. – 240 с.: ил. – (Серия «Профессиональное образование») 1 Ход занятия 1.       Организационный момент. Сообщение темы и цели занятия 2. Актуализация знаний студентов. Фронтальный опрос. 3. Изучение нового материала. Основные определения Определение: Событие, которое в результате опыта должно произойти непременно, называется достоверным событием. Определение:  Событие, которое в данном опыте не может произойти, называется невозможным. Вероятность достоверного события равна единице, вероятность невозможного события равна нулю. Определение: Два события называют несовместными, если появление одного из них  исключает появление другого в одном и том же испытании.  Определение: Суммой А+В двух событий А и В называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них, т. е. или событие А или В или А и В вместе. Определение:  Произведением   А.В    двух   событий   А   и   В   называется   событие, состоящее в совместном появлении события А и события В. Определение: Противоположным к А называется событие  , состоящее в том, À что А не произошло. Определение: Два события называются  независимыми, если вероятность одного из них не зависит от появления или не появления другого. Определение: Пусть А и В – зависимые события. Условной вероятностью Р(В|А) (или PA(B)) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило. Теорема умножения вероятностей 2 Теорема:   Вероятность   произведения   двух   независимых   событий   равна произведению вероятностей этих событий P(A.B)  = P(A).P(B). Пример . Какова вероятность того, что при десятикратном бросании монеты герб выпадет 10 раз ?  Решение:  Пусть   событие  Ai  —   появление   герба   при  i­м   бросании.   Искомая вероятность есть вероятность совмещения всех событий Ai (i=1,2,3,...,10), а так как они, очевидно, независимы в совокупности, то применяя формулу (10), имеем  Но P(Ai)=1/2 для любого i; поэтому  Теорема:  Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятностей   одного   из   них   на   условную   вероятность   другого,   вычисленную   в предложении, что первое уже наступило. Для трех зависимых событий: P(A .B)  = P(A).P(B A). P(A .B)  = P(A).P(B A).P(C A .B). Пример.  Из урны, содержащей 3 белых и 7 черных шаров, вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми ?  Решение: Эта задача уже была решена в п. 3 с помощью классического определения вероятности. Решим ее, применяя формулу (5). Извлечение двух шаров равносильно последовательному их извлечению. Обозначим через А появление белого шара при первом извлечении, а через В — при втором. Событие, состоящее в появлении двух белых шаров, является совмещением событий А и В. По формуле (5) имеем  Но Р(А)=3/10; РA(В)=2/9, поскольку после того, как был вынут первый белый шар, в урне осталось 9 шаров, из которых 2 белых. Следовательно,  Теорема сложения вероятностей несовместимых событий Теорема:  Вероятность   суммы   несовместных   событий   равна   сумме   вероятностей этих событий: P(A+B)  = P(A)+P(B). 3 Пример.  В урне 2 зеленых, 7 красных, 5 коричневых и 10 белых шаров. Какова вероятность появления цветного шара?  Решение:  Находим   соответственно   вероятности   появления   зеленого,   красного   и коричневого   шаров:  Р(зел.)=2/24;   Так   как рассматриваемые события, очевидно, несовместны, то, применяя аксиому сложения, найдем вероятность появления цветного шара:  Р(кор.)=5/24.  Р(кр.)=7/24; Теорема: Если A и B – совместные события, то P(A+B) = P(A)+P(B)­P(A .B). Для трех и более совместных событий эта формула значительно усложняется.  Например: P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)­P(A .B)­P(A .C)­P(B .C)+P(A .B .C).  :  Произведен залп из двух орудий по мишени. Вероятность попадания из Пример   первого орудия равна 0,85, а из второго – 0,91.  Найти вероятность поражения цели. Решение: Пусть событие А –  хотя бы одно попадание  в мишень, событие  А1  – попадание   в   мишень   из   первого   орудия,     событие   А2  –   попадание   в  мишень   из второго орудия. Тогда А = А1+А2. Поскольку события А1 и  А2 совместны, то       P(A) = P(А1)+P(А2)­P(А1 ,А2). Т.к. события А1 и А2 независимы, то  P(A1 ,A2)=P(A1) ,P(A2), где P(A1)=0,85, а P(A2)=0,91 по условию задачи. Итак, P(A) =0,85+0,91­0,85, 0,91=0,9865. Вероятность противоположного события Несколько событий в данном опыте образуют  полную группу, если в результате опыта   обязательно   должно   появиться   хотя   бы   одно   из   этих   событий,   Отсюда следует, что сумма событий полной группы есть достоверное событие, вероятность которого равна единице. Если   события,   образующие   полную   группу,   попарно   несовместны,   то   в результате опыта появится одно и только одно из этих событий.  Для суммы таких событий справедлива формула P(A1+A2+….+An) = P(A1)+P(A2)+….+P(An) = 1. Теорема: Два противоположных друг другу события образуют полную группу:  AP ( )  AP ( )  .1 4 Пример  :   В партии содержится 20 деталей, среди которых 4 нестандартных. Для   контроля взяли наудачу 3 детали. Найти   вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей нестандартна. Решение    :  нестандартной. Рассмотрим событие   Пусть   событие   А   –   хотя   бы   одна   из   взятых   деталей   окажется , противоположное событию А: À  ­ среди взятых деталей нет нестандартных.  Вычислим вероятность события  : À AP ( )  !17!3!16  !20!13!3   28 57 . À C C 3 16 3 20  m n Теперь вычислим вероятность искомого события: P(A) = 1­ AP 1 ) ( . 28 57  29 57  ,0 509  :  Перегорела   одна   из   пяти   электроламп,   включенных   в   сеть Пример   последовательно. С целью устранения повреждения наудачу выбранную лампочку заменяют   годной,   после   чего   сразу   проверяется   исправность   линии.   Если повреждение не устранено, то заменяется другая лампочка. Найти вероятность того, что повреждение будет устранено только после замены третьей лампочки.  : Пусть событие А – повреждение будет исправлено после замены третьей Решение   лампы. Рассмотрим следующие три события: А1 –    первая замененная лампа оказалась перегоревшей; А2 –  вторая замененная лампа оказалась перегоревшей; А3 –    третья замененная лампа оказалась перегоревшей. Тогда: А =   AA 1 2  A 3 Поскольку события  зависимы, то A  1 A 2 Aи 3 AP ( )   AAP 1( 2  A )3  AP )1(  AAP )12(   AAAP 13( )2 Вероятность   события     есть   вероятность   того,   что   первая   замененная   лампа оказалась исправной 1A .  4 5 AP )1( 5 Условная   вероятность     ­   вероятность   того,   что   вторая   замененная   лампа AAP )12( оказалась исправной, если известно, что первая замененная лампа также исправна. Поэтому  = . AAP )12( 3 4 Наконец, условная вероятность  AAAP 13(  )2  есть вероятность того, что третья замененная   лампа   оказалась   перегоревшей,   если   известно,   что   первая   и   вторая замененные лампы были исправными. Откуда  . AAAP 13( )2  1 3 Теперь подсчитаем искомую вероятность: P(A)= 4 5 1 3  4 3   2,0 Пример  : Вероятности того, что деталь нужного вида находится в первом, втором,   третьем  ящике  соответственно   равны   0,7;   0,8;  0,9.   Найти  вероятность  того,   что деталь содержится не менее,  чем в двух ящиках. Решение: Пусть событие А – деталь нужного вида находится не менее, чем в двух ящиках. Рассмотрим следующие три события: А1 – деталь нужного вида имеется в 1­ом ящике; А2 – деталь нужного вида имеется во 2­ом ящике; А3 ­  деталь нужного вида имеется в 3­ем ящике. Событие B1=  ÀÀ 2 1  À 3  заключается в том, что нужного вида деталь имеется во 2­ом и 3­ем ящиках, но ее нет в 1­ом ящике. События имеется во 2­ом и 3­ем независимы, поэтому  )1( BP 9,08,0)7,01(  AP )2(  AP )3( AP )1(   .216 ,0  Событие  B 2  AA 2 1  A 3  заключается в том, что нужного вида деталь имеется в 1­ом и в 3­ем ящиках, но ее нет во 2­ом ящике. Событие B3=A1 ,A2 , заключается в том, что нужного вида деталь имеется в 1­ом и 3A 2­ом ящиках, но ее нет в 3­ем ящике. )=P(A1) ,P(A2) ,P( 3(BP A )3 )9,01(8,07,0   ,0 056 . Наконец, событие B4=A1  и в 1­ом, и во 2­ом, и в 3­ем ящиках. ,A2 ,A3 заключается в том, что нужного вида деталь имеется 6 BP )4(  AP )1(  AP )2(  AP )3(  9,08,07,0  .504,0 Событие А произойдет тогда, когда произойдет одно из событий: или В1, или В2, или В3, или В4. Поэтому  А=В1+В2+В3+В4. Поскольку события В1, В2, В3, В4 несовместны, то  P(A)=P(В1)+P(В2)+P(B3)+P(B4). Вычисляем: P(A)=0,216+0,126+0,056+0,504=0,902. Формула полной вероятности Пусть событие А происходит совместно с одним из событий (гипотез) Н1, Н2, …   Нn,   которые   образуют   полную   группу   событий.   Тогда   справедлива  формула полной вероятности события А :      , АР ( )  n  НР  1 к ( к )  НАР ( ) к где Р(Нк) – вероятность гипотезы Нк, Р(А Нк) – условная вероятность А, т.е. вероятность появления события А при условии, что произошла гипотеза Нк .  Пример.   Три автомата изготовляют одинаковые детали.  Известно, что первый автомат производит 30% всей продукции, второй – 25% и третий – 45%. Вероятность изготовления детали, соответствующей стандарту, на первом   автомате   равна   0,99,   на   втором   –   0,988   и   на   третьем   –   0,988.   все изготовленные за смену детали складываются вместе. Определить вероятность того, что взятая наудачу деталь не соответствует стандарту. Решение: Пусть событие А – взятая наудачу деталь не соответствует стандарту. Гипотезы:  Н1­ взятая деталь изготовлена  первым автоматом; Н2­ взятая деталь изготовлена  вторым автоматом; Н3­ взятая деталь изготовлена третьим автоматом. Вычислим вероятность гипотез. %25 %45 %30 НР ( )   ;3,0 НР ( )   ;25,0 НР ( )   .45,0 1 %100 2 %100 3 %100 Вычислим условные вероятности: Р(А Н1) – вероятность того, что  взятая наудачу деталь не соответствует стандарту, если она изготовлена первым автоматом. НАР ( НАР ( 1 3 )  1 99,0  .01,0 НАР ( )  1 ,0 988  ,0 .012 2 )  1 ,0 988  ,0 012 . Вероятность события А подсчитываем по формуле полной вероятности : Р(А)=0,3 .0,01+0,25 .0,012+0,45 .0,012=0,009. 7 4. Закрепление новых знаний. Пример 1.В первой урне 7 белых и 3 черных шара, во второй – 8 белых и 2 черных. При перевозке из первой  урны во вторую урну перекатились два шара. После того, как шары во второй урне перемешались, из неё выкатился шар. Найти вероятность того, что выкатившийся из второй урны шар белый. Решение: Пусть событие  Н1  состоит в том, что из первой урны во вторую перекатились два белых шара, событие  Н2  состоит в том, что  перекатились два чёрных шара, а событие  Н3  состоит в том, что перекатились шары разного цвета. Можно   вычислить   вероятности  Р(Н1) =   = 1/15,  = 7/15,  Р(Н2) =  2 7 /CC 2 10 2 3 /CC 2 10 Р(Н3) =  /37 C 2 10  = 7/15   (при   решении   задачи   полезно   проверить   выполнение необходимого условия    iHP  1 ). Если реализовалась гипотеза  Н1, то во второй урне оказалось 10 белых и 2 черных шара. Обозначим через А событие, заключающееся в том, что из второй урны  = 5/33. Если реализовалась гипотеза выкатился белый шар. Тогда Р(А/Н1) =  /10 C 2 12 Н2, то во второй урне оказалось 8 белых и 4 чёрных шара, и Р(А/Н2) =   = 4/33. /8 C 2 12 Легко   показать,   что  Р(А/Н3) =  /9 C 2 12  = 3/22.   Теперь   можно   воспользоваться формулой полной вероятности: Р(А) = (5/33)(7/15) + (4/33) (1/15) + (3/22) (7/15) = 47/330 Пример 2. В ящике лежат 20 теннисных мячей, в том числе 15 новых и 5 играных. Для игры выбираются 2 мяча и после игры возвращаются обратно. Затем для второй игры также наудачу извлекаются ещё два мяча. Найти вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами. Решение Обозначим через А событие, заключающееся в том, что вторая игра будет  проводиться  новыми  мячами.  Пусть   гипотеза  Н1    состоит  в  том,  что   для первой игры были выбраны два новых мяча, гипотеза  Н2    состоит в том, что для первой игры были выбраны новый и играный мячи, гипотеза Н3   состоит в том, что для первой игры были выбраны два играных мяча. Определим вероятности гипотез: Р(Н1) =  2 CC 15 2 20 21 ; Р(Н2) =  38 15  C 5 2 20  15 38 ; Р(Н3) =  Теперь вычислим условные вероятности события А. CC 2 20 2 5 382 . 8 Р(А/Н1) =  2 CC 13 2 20 39 ; Р(А/Н2) =  95 2 CC 14 2 20 91 ; Р(А/Н3) =  190 2 CC 15 2 20 21 . 38 Осталось подставить результаты вычислений в формулу полной вероятности Р(А) =  21  38   39  95   15  38   91  190    382   21  38 . 0 445 . Пример 3. На автозавод поступили двигатели от трех моторных заводов. От первого завода поступило 10 двигателей, от второго – 6 и от третьего – 4 двигателя. Вероятности   безотказной   работы   этих   двигателей   в   течение   гарантийного   срока соответственно равны 0,9; 0,8; 0,7. Какова вероятность того, что установленный на машине двигатель будет работать без дефектов в течение гарантийного срока? Решение      Событие A – установленный на машине двигатель будет работать без дефектов в течение гарантийного срока – может произойти, если произойдет одно  –   установленный   на   машине   двигатель из   несовместных   событий:   HHH , , 2 1 3 изготовлен   на   первом,   втором   или   третьем   заводе   соответственно.   Эти   события образуют полную группу, их вероятности:  ,   HP  5,0 1 10 20  HP  3,0 2 6 20 ,   HP  2,0 3 4 20 (Контроль:  HP 1    HP 2    HP 3  1  ). По условию    A 9,0 PH 1 ,    A 8,0 PH 2 ,  .   A 7,0 PH 3  AP  По формуле полной вероятности     PHP H   PHP H   PHP H A A       3 2 1 2 1    A 3  7,02,08,03,09,05,0    83,0 . 5. Подведение итогов занятия. 1. Что такое случайное событие?. 2. Дайте классическое определение вероятности. 3. Сформулируйте теорему умножения вероятностей. 4. Сформулируйте теорему сложения вероятностей. 5. Как найти вероятность противоположного события? , 9