Методическая разработка урока по теме "Решение тригонометрических уравнений"

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ КЕМЕРОВСКОЙ ОБЛАСТИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «КУЗНЕЦКИЙ ТЕХНИКУМ СЕРВИСА И ДИЗАЙНА» ИМ. ВОЛКОВА В.А. Методическая разработка открытого урока «Решение тригонометрических уравнений,  приводимых к квадратным» ПД.01 «Математика» Разработала преподаватель точных дисциплин Утина Валентина Владимировна Новокузнецк, 2016 Аннотация Данная   методическая   разработка   помогает   совершенствованию   методики   ведения   разработка   содержит   в   себе   пример   построения   и традиционного   урока.   Методическая   оформления традиционного урока, раскрывает его структуру, вопросы применения традиционных методов и приемов обучения.             Методическая разработка может быть использована преподавателями точных дисциплин. Содержание Оглавление Введение...................................................................................................................4 План - конспект урока..............................................................................................5 Приложение 1.........................................................................................................10 Приложение 2.........................................................................................................11 Приложение 3.........................................................................................................12 Заключение.............................................................................................................13 Список используемой литературы........................................................................14 Введение Методическая разработка отражает особенности ведения традиционного урока изучения нового материала на принципах деятельностного обучения: сочетание индивидуальной, групповой и фронтальной форм работы при выполнении упражнений. Это дает возможность формированию у студентов компетенций, которые в полной мере отвечают требованиями ФГОС:  при   освоении   компетенции   «ОК   2.   Организовывать   собственную   деятельность,   определять методы   и   способы   выполнения   профессиональных   задач,   оценивать   их   эффективность   и качество»   студенты   должны   уметь   рационально   использовать   свое   время   на   выполнение упражнений на занятии; при освоении компетенции  «ОК 6. Работать в коллективе и команде, взаимодействовать с руководством,   коллегами   и   социальными   партнерами»   студенты   должны   уметь   работать   в парах и группах для решения задач, поставленных на занятии;  Целью данного урока является формирование умения применять метод замены переменной для  решения  тригонометрических  уравнений,  приводимых   к квадратным.  Эта  цель  достигается путем   решения   образовательных,   воспитательных   и   развивающих   задач:   усвоить   метод   замены переменной   при   решении   тригонометрических   уравнений,   приводимых   к   квадратным, способствовать развитию логического мышления: способствовать формированию умения работать рационально, планомерно, организованно, контролировать и анализировать итоги своей работы.  Данные   задачи   реализуются   с   помощью   разнообразных   методов   и   форм   обучения,   что способствует   развитию   практических   навыков   у   студентов,   а   также   повышает   уровень   их познавательной активности. План ­ конспект урока Учебная дисциплина: Математика Дата проведения: 18.11.2016 Место проведения: кабинет 316 Группа: СР­15(3/4) Специальность: 43.02.01 Реклама Время урока: 45 минут Тема урока: Решение тригонометрических уравнений, приводимых к квадратным. Тип урока: изучение нового материала Цель   урока:  Формирование   умения   применять   метод   замены   переменной   для   решения тригонометрических уравнений, приводимых к квадратным. Задачи: Образовательная:  усвоить   метод   замены   переменной   при   решении   тригонометрических уравнений, приводимых к квадратным; Развивающая: способствовать развитию логического мышления; (ОК2) Воспитательная:  способствовать   формированию   умения   работать   рационально,   планомерно, организованно, контролировать и анализировать итоги своей работы. (ОК6) Формируемые компетенции: ОК   2.   Организовывать   собственную   деятельность,   определять   методы   и   способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество. ОК 6. Работать в коллективе и команде, обеспечивать ее сплочение, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями Методы   обучения:  беседа,   объяснение,   диалог,   объяснение,   практический   метод   (выполнение упражнений). Формы   организационно­познавательной   деятельности: групповая. Цель методическая: Методы ведения урока теоретического обучения КМО и МТО урока: меловая доска, раздаточный материал.  Учебно­методический комплекс: Алимов Ш.А. Алгебра и начала математического анализа.  [Текст]: Учебник 10­11 кл. ОО/ Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева и др. – 19­е изд. – М.:  Просвещение, 2013. – 464с.   индивидуальная,  фронтальная, 1. Организационный момент 2. Проверка пройденного материала 3. Изучение нового материала 4. Закрепление изученного материала 5. Подведение итогов и постановка домашнего задания. 1.  Организационный момент (2 мин) Преподаватель:  Доброе утро, дорогие студенты и гости нашего урока.  Староста группы, скажите, кто сегодня отсутствует? Отмечает отсутствующих в журнале. Староста группы сдает рапорт. 2. Проверка пройденного материала (10 минут) Преподаватель:  Итак, друзья, прежде чем мы перейдем к рассмотрению новой темы, нам необходимо проверить, как вы усвоили предыдущий материал, для этого вы выполните тест по предыдущей теме. У вас на столах уже лежат тесты (Приложение 1) по вариантам на   листочках,   подпишите   их,   укажите   номер   группы.  Для   написания   теста   вы можете воспользоваться вспомогательными таблицами, которые также лежат у вас на столах. (Приложение 2) Каждая карточка содержит по пять тестовых заданий на установление соответствия. Время на выполнение задания 10 минут. Студенты выполняют тестовые задания. Преподаватель: ­Время   на   выполнение   теста   истекло,   поменяйтесь   листочком   с   соседом   по   парте   и   по эталону ответов на доске проверьте его тест, выставите отметку. После   выполнения   тестовых   заданий   студенты   меняются   листочками.  (студенты  проводят взаимопроверку)   Отметки будут выставлены вам на следующем уроке. 3. Изучение нового материала (20мин) Преподаватель: На доске заранее написаны тригонометрические уравнения, приводимые к квадратным. ­Итак, теперь запишите число в ваши рабочие тетради и  посмотрите на доску. Что вы  видите? (тригонометрические уравнения). Преподаватель: ­Что между ними общего? (почти все уравнения имеют вторую степень*). ­Рассмотрим первое уравнение на доске или раздаточного материала, который находится у  вас на столах. (Приложение 3) ­   что   вы   можете   сказать   об   этом   уравнении?  (уравнение   содержит   одну тригонометрическую функцию и является квадратным) ­  Как вы думаете, каким способом можно решить это уравнение?  (Чтобы решить данное уравнение, необходимо ввести новую переменную).  ­Теперь запишем тему нашего урока: «Решение тригонометрических уравнений, приводимых к квадратным». Студенты записывают число, тему ­теперь запишите в ваши тетради первое уравнение. Студенты записывают уравнение sin2х+sinх−2=0 Преподаватель: Один студент приглашается к доске. Студент:  Обозначим   sinх=у ,   получим   уравнение   у2+у−2=0.   Далее   через дискриминант   находи   его   корни.   Его   корни   у1=1иу2=−2.   Таким   образом,   решение исходного уравнения сводится к решению простейших уравнений   sinх=1   и   sinх¿−2 . π 2 +2πn,nϵZ.  А уравнение  sinх¿−2  не имеет Уравнение  sinх=1  имеет корни х =  корней.  π 2 +2πn,nϵZ Ответ: х =  Преподаватель:   ­Запишете     второе   уравнение.   Данное   уравнение   решается   также   методом   замены, только оно является квадратным относительно функции косинус. Этот же студент решает второе уравнение у доски. 2cos2х−cosх−3=0 Замена:  cosх=у 2у2−у−3=0 D=1+24=25 1−5 y1= y2= 4 1+5 4 =­ =­ 4 4=−1 6 4=−1.5 Возврат к замене:  cosх=−1 Студент:  это частный вид решения уравнения для функции косинус, поэтому сразу записываем ответ: x =  π+2πn,nϵZ cosх=−1 .5  Студент: данное уравнение корней не имеет Ответ: x =  π+2πn,nϵZ Преподаватель: ­   Переходим   к   решению   3­го   уравнения.  (Для   решения   2х   следующих   уравнений   к   доске вызывается следующий студент. Остальные студенты выполняют соответствующие записи у себя в тетрадях).  2 tg2x+3tgx−2=0 Студент: это уравнение является квадратным относительно функции тангенс и решается методом замены переменной. Замена: tg x = y 2y2+3y−2=0 D=9+16=25 −3−5 y1= y2= −3+5 4 4 =­ =­ 8 4=−2 2 4=−0.5 Возврат к замене:  tg x = ­2 x = ­arctg 2 + n, nπ ∈Z tg x = ­ 0,5 х = arctg 0.5 + n, nπ ∈Z Ответ: x = ­arctg 2 + n, nπ ∈Z х = arctg 0.5 + nπ , n ∈Z Преподаватель: ­ Переходим   к   решению   четвертого   уравнения.  (этот   же   студент   решает   следующее уравнение у доски) cos2x−sin2x−cosx=0 Студент: заменим квадрат синуса на косинус через основное тригонометрическое тождество x 1−cos2¿ ¿ x−¿ cos2¿ 2cos2x−1−cosx=0 2cos2x−cosx−1=0 Замена:  cosх=у 2 у2−у−1=0 D=9 y1= y2= 1−3 4 1+3 4 =­ = 4=−1 2 2 4 4=1 х = arcos (­ Студент: Возвращаемся к замене cosх=−1 2 1 2 ) 2πn,nϵZ 1 2 ¿+2πn,nϵZ x = ( ­arccos  x = ( ­π π 3 ¿+2πn,nϵZ 2π 3 +2πn,nϵZ x =  π cos x = 1,  x = 2πn,nϵZ Преподаватель: ­ Отлично, теперь рассмотрим следующее уравнение.  Для решения уравнения к доске вызывается следующий студент. tg x­3ctg x=2 Преподаватель: ­ Является ли это уравнение квадратным относительно одной тригонометрической функции? Студент: нет Преподаватель: ­Сначала это уравнение нужно преобразовать. Найдите в своих рабочих тетрадях формулы и посмотрите как связаны между собой функции тангенс и котангенс. Студенты смотрят формулы в тетрадях. Студент: ctg x =  1 tgx .  tg x­3 1 tgx =2 Преподаватель: ­ Что нужно сделать, чтобы найти его корни? Студент: Нужно левую и правую часть уравнения помножить на tg x tg2x−3=2tgx tg2x−tgx−3=0 Замена: tg x = y y2−2y−3=0 D=16 y1= y2= 2−4 2 2+4 2 =­ = 2 2 =−1 6 2=3 Возврат к замене:  tg x = ­1 x = ­arctg 1+ n, nπ ∈Z π 4 + n, nπ ∈Z x = ­ tg x = 3 х = arctg 3 + n, nπ ∈Z Ответ: x = ­ х = arctg 3 + nπ , n ∈Z π 4 + nπ , n ∈Z 4. Закрепление (8 мин) Студентам предлагается решить уравнения.  2sin2х−3sinх−2=0 tg x = 2­ tg2x 5. Подведение итогов и постановка домашнего задания. (5 мин) Завершить урок Выставление отметок. Отметки за урок получают все с учетом результатов выполненных тестов и работы на уроке. Постановка  и комментарии к выполнению домашнего задания № 621(1­4). Формулы решения простейших тригонометрических уравнений. Приложение 1. 1. sinх = а Общая формула: х =  Частные случаи: а)  sinх=0 , х= πn,nϵZ (−1)narcsina+πn,nϵZ      б) sin x = 1, x =       в) sin x = ­1, x =  π 2 +2πn,nϵZ −π 2 +2πn,nϵZ 2. cosх = а Общая формула: х =  ±arccosa+2πn,nϵZ Частные случаи: а)  cosх=0 , х= π 2 +πn,nϵZ      б) cos x = 1, x = 2πn,nϵZ      в) cos x = ­1, x =  π+2πn,nϵZ 3. 4. tg x = a ctg x = a x = arctg a +  πn,nϵZ x = arcctg a +  πn,nϵZ Соотнесите: Вариант 1. 5. 6. 7. 8. 9. sinх=1 cosх=1 2 tg x = 3 cosх=−1 cosх=5 Самостоятельная работа  а) корней нет б) х =  π+2πn,nϵZ в) x= ±arccosπ 3 +2πn,nϵZ г) х = arctg 3 +  πn,nϵZ π 2 +2πn,nϵZ д) х = Приложение 2 Ф.И.________________ Группа _____________ Ф.И.________________ Группа _____________ π 2 +2πn,nϵZ а) х = π 2 +2πn,nϵZ б) x = ­ в) х= ­ arctg 8+πn,n ϵZ г) Корней нет д) x= π+2πn,nϵZ Вариант 2. 10. sinх=−1 11. cosх=0 12. tg x = ­8 13. cosх¿−1 14. cosх=−1.02 Ответы: Вариант 1 1­д, 2­в, 3­г, 4­б, 5­а Вариант 2 1­б, 2­а, 3­в, 4­д, 5­г sin2х+sinх−2=0 1. 2. 2 cos2х−cosх−3=0 3. 2 tg2x+3tgx−2=0 4. 5. Задания на закрепление изученного материала cos2x−sin2x−cosx=0 tg x­3ctg x=2 Задания для работы на уроке. Приложение 3 2sin2х−3sinх−2=0 tg x = 2­ tg2x 6. Заключение В данной методической разработке   представлен урок изучения нового материала. Его цель достигается путем применения традиционных методов и приемов ведения урока.  Применение традиционных методов обучения позволяет эффективно организовать учебную деятельность студентов и добиться качественного усвоения материала. В качестве основного используется практический метод. Его преимущество в том, что обучающие учатся самостоятельно получать знания, приобретают умения работать с материалом, представлять результаты своей деятельности в знаковых системах и нести за неё ответственность. Таким образом, реализуется компетентносто­ориентированный подход к обучению, что очень важно в условиях реализации ФГОС нового поколения. Список используемой литературы 1. . Колмагоров, А.Н. Алгебра и начало анализа[Текст]: Учебник 10­11кл. ОУ / А.Н.  Колмагоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын.­ Москва : Просвещение, 2010.­ 384с.  2. Алимов Ш.А. Алгебра и начала математического анализа. [Текст]: Учебник 10­11 кл. ОО/  Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева и др. – 19­е изд. – М.: Просвещение, 2013. –  464с.