Преобразование тригонометрических выражений

Преобразование тригонометрических выражений – 9 класс 2 часа (математический профиль) Дата: «____» ______________ 20 __ г. Дидактическая цель: формировать умения и навыки по преобразованию тригонометрических                                       выражений Воспитательная цель: развивать продуктивное мышление и активизировать познавательную  деятельность учащихся – формировать умение планировать решение задачи, критически его оценивать,  отыскивать наиболее рациональное решение Основные знания и умения: знать формулы преобразования тригонометрических выражений;     уметь пользоваться указанными формулами для решения задач Обеспечение занятия: Раздаточный материал: карточки­задания для самостоятельной работы Вид занятия: комбинированное Мотивация познавательной деятельности учащихся: практическая значимость темы в том, что  знание свойств тригонометрических функций, основных формул и умение ими пользоваться, необходимы не только для общего умственного развития учащихся, но и для их профессиональной подготовки.  Исключительно важное значение имеют тригонометрические функции при изучении периодических  процессов (распространение волн, колебательное движение, движение механизмов, колебание  переменного электротока) в механике, физике, электротехнике и многих других дисциплинах. План занятия: Проверка домашнего задания: комбинированный опрос 1. 6 учащихся (по 2 с каждого ряда) отвечают по карточкам – 2 варианта: I вариант 1.  Упростить выражение:  2.  Вычислить:  tg  2 , если  cos   0,5 3.  Упростить выражение:   II вариант  1. Упростить выражение:  2.  Вычислить:  cos  2 , если  sin  3.  Упростить выражение:   2  1 cos  2 1 sin 3 2   1 2 cos   1  1 sin  1 cos 2 2   1 2 sin   1  и     ;  2  и     ;  2 Ответы: 1 вариант: 1.  2 tg ;   2.   3; 3. ctg  2  2 вариант: 1.  2ctg ; 2.   0,5; 3. tg  2 2. Остальные учащиеся пишут математический диктант (задание проговаривается 2 раза),  проверяющий знание формул: 1­5 дополнить выражение до формулы:                                              2 sin  α cosα 1. sin 2  = …α 2. ctg (60o­α) ctgα ctg  (60o+α) =… 3. cos2  tg  1 α  ­ sin 2     tg    tg tg  =…α =… 4.  ctg 3α cos 2α  tg          5.  2sin  2      cos  =…  2 6. Вычислить:  7. Упростить:  0 sin15 cos15   0  2 tg   2 tg  3 ctg 1  2 sin sin   0, 25   1 4 3 Проверка м/диктанта ­ устно без комментария ответа Применение знаний при решении типовых задач  (решение на доске, помощь – наводящие вопросы, уточнения) 1. Упростить: А = tg3о tg17o tg23o tg37o tg43 otg57o tg63o tg77o tg83o    1      2         3     3        2       1       1        2       3 Решение: группируем 1, 2, 3;      А = tg 9o tg51o tg69o = tg27o        2. Указать выполненные операции:  А = tg41o tg42o tg43o tg44o … tg49o = tg41o ctg41o tg42o ctg42o … tg45o =1∙1…∙1 = 1        1                    1              2        3      4  1 – выразили tg угла через ctg дополнительного угла 2 – выделили tg45o, оставшийся «без пары» 3 – выразили tg ctg  через 1 по формуле  4 ­  tg45o = 1 – табличное значение o o 1. Расставить и указать выполненные операции:   o cos 20    o cos 180     o 1 1   ... cos140 o ... cos 180  o  cos160   o 40 cos 20  ... cos 40     cos 60 o  cos60 cos60  cos 40 cos 40  o  cos 40 o o o o A    cos 20 cos 20 o cos180  o o   o 20  cos180 o  1 – представили аргумент в виде разности аргументов для применения формул приведения.  2 – применили формулы приведения 3 – записали табличное значение cos180o 4 – привели подобные слагаемые, получили данный ответ              Творческое применение ЗУН  (подсказка п.1, 2 и помощь – наводящие вопросы, уточнения п. 3, 4) 1. Вычислить: sin18 o       Решение:   1. Используем тождество sin 36 o  cos54 o (по определению дополнительных углов).  2. Обозначим: 18о = х, тогда sin2х = cos3x    2sinx cosx = 4cos2x (по формулам двойного и тройного аргумента) 3. Разделим обе части на cosx, так как cos x ≠ 0  2sinx = 4cos2x ­ 3,  но 4cos2x  = 4 ­ 4sin2x (по основному тригонометрическому тождеству)   4sin2x + 2sinx – 1 = 0 4. Решим квадратное уравнение относительно х  (полное квадратное уравнение с четным вторым коэффициентом) 0 ;90o o   , то sinx > 0   sin 18o =  5 1 4 2   D k   k a Sinx =  2. Дано:  sin 1 4 5 5    ac   1 D 4  . Найти: sin 2  , так как 18о  cos     1 2 Обе части равенства возведем в квадрат        Решение: (помощь – наводящие вопросы, уточнения) 1 4 sin 2  2  2sin cos    , 1 sin 2  ,                cos cos sin sin        2 2       (по основному тригонометрическому тождеству и синусу двойного аргумента) 1 4 1 4 3     4      Обобщение и систематизация знаний  (вывод – записать под диктовку, таблицу оформить в тетрадь) Все формулы тригонометрии связаны между собой, и их легко выводить одну из другой. Основная группа формул – формулы сложения – обладают достаточной общностью. Таблица Формулы сложения Формулы приведения Формулы двойного  аргумента Формулы преобразования  произведений тригонометрических  функций в сумму и разность Формулы понижения  степени  Формулы половинного  аргумента Формулы преобразования суммы и  разности одноименных  тригонометрических функций в  произведение Самостоятельная работа (выполнить на листочках и сдать на проверку) 1. Доказать тождество двумя способами:  tg    2 4   tg    2 4   2 tg  I способ: используя формулу разности тангенсов II способ: используя формулы тангенса суммы и тангенса разности двух углов 2. Упростить:  16cos 20 cos 40 cos60 cos80 o o o o 3. Вычислить:  1 1   2 2 tg tg 15 15 o o Итог занятия: объявить оценки … Домашнее задание:            1. Вычислить:  sin 4 2. Вычислить:  cos   8  cos 5 4 cos  2 5  3 8  sin 4  5 8  4 cos  7 8 3. Выполнить анализ формул тригонометрии, найти взаимосвязи различных групп формул PS: карточки – отдельно I вариант 1.  Упростить выражение:  1 2 cos   1  1 sin  1 cos 2 2   1 2 sin   1 1 2 cos   1  1 sin  1 cos 2 2   1 2 sin   1 Волошина Н.Н., шг.№ 5  и     ;  2  и     ;  2  и     ;  2  и     ;  2  и     ;  2 2.  Вычислить:  tg  2 , если  cos   0,5 3.  Упростить выражение:   II вариант  1. Упростить выражение:  2.  Вычислить:  cos  2 , если  sin  3.  Упростить выражение:   2  1 cos  2 1 sin 3 2   I вариант 1.  Упростить выражение:  2.  Вычислить:  tg  2 , если  cos   0,5 3.  Упростить выражение:   II вариант  2. Упростить выражение:  2.  Вычислить:  cos  2 , если  sin  3.  Упростить выражение:   2  1 cos  2 1 sin 3 2   I вариант 1.  Упростить выражение:  1 2 cos   1 2.  Вычислить:  tg  2 , если  cos   0,5 3.  Упростить выражение:   II вариант   1 sin  1 cos 2 2                  3. Упростить выражение:  1 2 sin   1 2.  Вычислить:  cos  2 , если  sin  3.  Упростить выражение:   2  1 cos  2 1 sin Математический диктант: 3 2   1­5 дополнить выражение до формулы: 1. sin 2   = …α                          2. ctg(60o­α) ctgα ctg(60o+α) =… 3. cos2 α ­ sin2 α  =… 6. Вычислить:  7. Упростить:  sin15 cos15   0 0  2 tg   3 2 ctg   2 tg 1    и     ;  2 4.  tg  1    tg    tg tg  =… 5.  2sin      cos  =…  2  2 Применение знаний при решении типовых задач 1. Упростить: А = tg3о tg17o tg23o tg37o tg43 otg57o tg63o tg77o tg83o 2. Указать выполненные операции: А = tg41o tg42o tg43o tg44o … tg49o = tg41o ctg41o tg42o ctg42o … tg45o =1∙1…∙1 = 1   o 3. Расставить и указать выполненные операции:    ... cos140 o ... cos 180  o  ... cos 40 cos 20  o  cos 40  o  cos 60 o  cos 60  cos 40 A        cos 40 cos 20 cos 20 cos 60 o o o o o o o  cos160   o 40 cos 20    cos 180    1 1 cos180  o o o   o 20  cos180 o  Творческое применение ЗУН 1. Вычислить: sin18o      Обобщение и систематизация знаний ­ Таблица 2. Дано:  sin   cos  . Найти: sin 2 1 2 Формулы приведения Формулы сложения Формулы двойного  аргумента Формулы понижения  степени  Формулы половинного  аргумента Формулы преобразования  произведений тригонометрических  функций в сумму и разность Формулы преобразования суммы и  разности одноименных  тригонометрических функций в  произведение Самостоятельная работа (выполнить на листочках и сдать на проверку) 1. Доказать тождество двумя способами:  tg I способ: используя формулу разности тангенсов    2 4   tg    2 4   2 tg               II способ: используя формулы тангенса суммы и тангенса разности двух углов 2. Упростить:  16cos 20 cos 40 cos 60 cos80 o o o 3. Вычислить:  o 15 o 15 Домашнее задание:  tg tg 1 1   2 2 o 2. Вычислить:  cos  5 cos  2 5 1. Вычислить: 4 sin  4 cos  8  3 8  sin 4  4 cos  5 8  7 8 3. Выполнить анализ формул тригонометрии, найти взаимосвязи различных групп формул