Рациональные неравенства

РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА (4 ч) У р о к  1 Цели:  ввести   понятие   рационального   неравенства   с   одной   переменной; закрепить знание трех правил (из § 1) при решении рациональных неравенств; научить применять метод интервалов к решению рациональных неравенств. I. Проверочная работа (10–12 минут). Ход урока               В а р и а н т  I 1. Решите неравенство: а) х2 – 8х + 15 > 0; б) 3х2 + 2х + 4 < 0; в) х2 – 9 ≥ 0. 2. Найдите область определения выражения f(х):  х  х х   5   8  f(х)=           В а р и а н т  II 1. Решите неравенство: а) х2 – 10х + 21 > 0; б) – 4х2 + 3х – 5 < 0; в) х2 – 16 ≥ 0.    7 х   6 f(х)=  3. Решите неравенство: а) | х – 4 | ≤ 3; б) | х + 2 | > 1. II. Объяснение нового материала. 1. Определение рационального неравенства с одной переменной. Рациональное неравенство с одной переменной х – это неравенство вида h(х) 3. Решите неравенство: а) | х + 5 | ≤ 2; б) | х – 3 | > 4. >q(х), где h(х) и q(х) – рациональные выражения. 2.   При   решении   рациональных   неравенств   используются   те   три   правила, которые были сформулированы выше в § 1 (повторить эти правила). 3. При  решении  рациональных  неравенств  используют  методинтервалов. 4. Учитель объясняет решение № 2.1 (а; б). а)   (х  +   2)(х  +   3)   >   0.   Рассмотрим   выражение  f(х)=   (х  +   2)(х  +   3).   Оно обращается в 0 в точках – 2; – 3; отметим эти точки на числовой прямой:  Числовая прямая разбивается указанными точками на три промежутка, на каждом  из  которых  выражение  f(х)сохраняет постоянный знак. Найдем знаки выражения   на   каждом   промежутке:   на   промежутке   (–∞;   –3)  f(х)    0;   на промежутке (– 3; – 2) f(х)< 0; на промежутке (– 2; ∞) f(х)> 0. Неравенство f(х)> 0 выполняется на промежутках (–∞; – 3) и (– 2; +∞). О т в е т: х< – 3; х> – 2. б) (х + 3)(х – 0,5) < 0. Выражение f(х)= (х + 3)∙(х – 0,5) обращается в нуль в точках – 3 и 0,5: На   промежутке   (–∞;   –   3)   выражение  f(х)>   0;   на   промежутке   (–   3;   0,5) выражение f(х)< 0; на промежутке (0,5; + ∞) f(х)> 0. Выбираем промежуток, на котором выражение отрицательно. О т в е т: – 3 <х < 0,5. III. Закрепление изученного материала. 1. Решить № 2.2 (а; б) на доске и в тетрадях. а) t(t – 1) < 0;  t = 0;  t = 1 О т в е т: 0  0;  х = – 5; – 0,25; 3.  О т в е т: – 5 <х< – 0,25;  х> 3. 5. Решить № 1.15, закрепляя ранее изученный материал. 3х2 – 2рх – р + 6 = 0 а) Квадратное уравнение имеет два различных корня, если D> 0. D = (– 2р)2 – 4 ∙ 3(– р + 6) = 4р2 + 12р – 72; 4р2 + 12р – 72 > 0; 4р2 + 12р – 72 = 0; р2 + 3р – 18 = 0; р1 = 3; р2 = – 6 4р2  +   12р  –   72   =   4(р  –   3)(р  +   6);   с   помощью   метода   интервалов   решим неравенство 4(р – 3)(р + 6) > 0: О т в е т: при р < – 6 и  р> 3. б) Квадратное уравнение имеет один корень, если D = 0: 4р2 + 12р – 72 = 0; р1 = – 6; р2 = 3. О т в е т: при р  = – 6 и  р = 3. в) Квадратное уравнение не имеет корней, если D< 0: О т в е т: при – 6 <р < 3. IV. Итоги урока. Выставление отметок. Домашнее задание:  изучить   материал   на  с.  13–16  учебника   и   записать   в тетради решение примеров 1 и 2; решить № 2.1 (в; г), № 2.2 (в; г), № 2.3 (а; б); № 2.4 (а; б), № 2.5 (а; б). У р о к  2 Цели:  способствовать   выработке   навыка   решения   неравенств   методом интервалов; научить решать рациональные неравенства вида  Ход урока ( ) Р х Qх > 0 и  ( ) ( ) Р х ( ) Qх < 0. I. Анализ проверочной работы. 1.   Указать   ошибки,   сделанные   учащимися   при   решении   квадратных неравенств. 2. Решить задания, вызвавшие затруднения у учащихся. II. Выполнение упражнений. 1. Решить № 2.5 (б; в) с комментированием на месте. 2. Решить на доске и в тетрадях. а) (х – 4)(3х + 1)(х + 1) > 0 1 3 )(х + 1) > 0 | : 3 б) (2х + 3)(х + 1)(х – 1) < 0     2(х + 1,5)(х + 1)(х – 1) < 0 | : 2     (х + 1,5)(х + 1)(х – 1) < 0      х = – 1,5; х = – 1; х = 1     (х – 4) ∙ 3(х +  1 3 )(х + 1) > 0 1 3 ; х = – 1      х = 4; х = –     (х – 4)(х +  О т в е т: (– 1; – 1 3 )  (4; ∞). О т в е т:  х < – 1,5;  – 1 <х< 1. 3. Решить № 2.8 (а; б). Решение объясняет учитель. а) (2 – х)(3х + 1)(2х – 3) > 0        –  1 ∙ (х  – 2) ∙ 3(х  +            – 1,5) > 0 |: (– 6) 1 3 ) ∙ 2(х  –     (х – 2)( х +       х = 2; х = – 1 3 )(х – 1,5) < 0 1 3 ; х = 1,5 б) (2х + 3)(1 – 2х)(х – 1) < 0 1 2 )(х  –          2(х  + 1,5) ∙ (– 2)(х  –        – 1) < 0 | : (– 4) 1 2 ) (х – 1) > 0 1 2 ; х = 1      х = – 1,5; х =       (х + 1,5)(х –  1 3 ; 1,5 <х< 2. 1 2 )  (1; ∞). О т в е т:  (– 1,5;  О т в е т:  х < – 4. После решения квадратных неравенств сделать   в ы в о д: при решении неравенств вида f(х) > 0 или f(х) < 0,  где f(х) = (х – а)(х – b)(х – с),  на самом правом     неравенство   выполняется   f(х) > 0, а далее по промежуткам знаки выражения f(х) чередуются.   промежутков     выделенных     из   III. Изучение нового материала. 1.   Разобрать   по   учебнику   решение   примеров   3   и   4   на   страницах   16–19. Обратить внимание учащихся на рисунки 16а, 16б (с. 19). 2. Учитель объясняет решение № 2.9 (в; г), обращая внимание учащихся на то, что дробь равна нулю, если числитель дроби равен нулю, а знаменатель не равен нулю.  х х 1) (  9 х  0. в)   Числитель дроби равен нулю при х = 0 и х = – 1; знаменатель не равен нулю при всех значениях х, кроме х = 9. Учитываем чередование знаков справа (ставим «+») налево на числовой прямой и чертим кривую знаков. О т в е т: – 1 ≤ х ≤ 0; х> 9. х 2   5 7 х х  0;  х 5  х х ( 7)  0. г)  знаменатель – в точках 0 и – 7.   Числитель  дроби  обращается в нуль при х = 5, а О т в е т: х< – 7;  0 <х ≤ 5. IV. Закрепление изученного материала. 1. Решить № 2.10 (в; г) на доске и в тетрадях.  1  ≥ 0 2  0  4 2  х 7  х в)   7 х 4  – 1 х 2   х 7 х 4  2 х  6 х 6  0  2 х  х 6(  х 1 2 1) 2    0 : 6  х х Отмечаем точки х = 1 и х = – 2  0 на числовой прямой: г)  Отмечаем   точки  х  =   5   на числовой прямой и чертим кривую знаков: О т в е т:  х < 5. О т в е т:  х < – 2;  х ≥ 1. 2. Самостоятельно решить № 2.11 (в; а). О т в е т ы: в) х ≤ – 5; х ≥ – 2;  а) – 3 ≤ х ≤ – 1. V. Итоги урока. На примере неравенства (3х – 12)(х  + 7)(9 – х) < 0 расскажите, как решают неравенства методом интервалов. Домашнее задание: прочитать по учебнику материал на с. 14–19; решить № 2.7 (в; г), № 2.8 (в; г), № 2.9 (а; в), № 2.10 (а; б), № 2.11 (б; г); решить задачу № 43 на с. 9. У р о к  3 Цели: упражнять в решении более сложных квадратных неравенств методом интервалов;   закреплять   навыки   разложения   квадратного   трехчлена   на множители; развивать логическое мышление учащихся. Ход урока I. Актуализация опорных знаний учащихся. 1. Двое учащихся решают на доске задания № 2.13 (а) и № 2.14 (а), используя теорему  о  квадратном  трехчлене  с  отрицательным  дискриминантом. 2.   Двое   учащихся   решают   на   доске   задания   №   2.10   (а)   и   №   2.10   (б)   из домашней работы. 3 2 <х< 7 3 ;   б) х< 2. О т в е т ы: а)  3. Со всем классом разбирается решение неравенств методом интервалов:  а) (х – 3)(х + 1)(х – 8) < 0; б) х2 – 81 ≤ 0; в)  2 х 1 16  6 х  х х ( 2) > 0;  0. г)  При решении используется чередование знаков с помощью кривой знаков. II. Решение более сложных квадратных неравенств. 1.   Решить   №   2.15   (в;   г)   на   доске   и   в   тетрадях;   учащиеся   решают самостоятельно, а учитель при необходимости помогает в решении. в) (3х – 2)(5 – х)(х + 1)(2 – х) < 0; г) (2х + 5)(4х + 3)(7 – 2х)(х – 3) < 0 2 3 )∙(– 1)(х – 5)(х + 1) ∙       3(х –            ∙ (– 1)(х– 2) < 0 | : 3 2 3 )(х – 5)(х + 1)(х – 2) < 0 2 3 ; х = 5; х = – 1; х = 2      (х –        х =  3 4 ) ∙      2(х + 2,5)∙4(х +      ∙ (– 2)(х–3,5)(х – 3) < 0     (х + 2,5)(х +  3 4 )(х – 3,5)(х – 3) > 0      х = – 2,5; х = – 3 4 ; х = 3,5; х = 3 О т в е т: (– 1;  2 3 )(2; 5). 3 4 <х < 3; О т в е т: х < –2,5; – х > 3,5 2. Решить № 2.16 (в) с комментированием на месте. 2 2 х х   169 100  0; ( ( х х   13)( 10)( х х   13) 10)  0. в)  Отмечаем на числовой прямой точки х = 13, х = – 13, х = 10 и х = – 10. О т в е т: [– 13; – 10)(10; 13]  или  – 13 ≤ х< – 10;  10 <х ≤ 13. 3. Решить № 2.16 (г). Решение объясняет учитель. 2 х 2 ( х х 2   49 144)  0; ( х 2 ( х х   7)( х 12)(  7)  х 12)  0. г)  Отмечаем на числовой прямой точки 7; – 7; 0; 12; – 12. Так как в знаменателе есть множитель  х2, то нельзя пользоваться «кривой знаков», а надо определять ( х 2 ( х х   7)( х 12)(  7)  х 12) знаки выражения f(х) =  по отдельности:  в каждом из выделенных промежутков О т в е т:  х< – 12;  – 7 <х <0;  0 <х < 7;  х> 12. 4. Решить № 2.17 (а; б). Учитель объясняет начало решения неравенства с помощью   разложения   на   множители   левой   части,   а   заканчивают   решение учащиеся самостоятельно. а) х3 – 64х> 0     х(х2 – 64) > 0     х(х – 8)(х + 8) > 0     х = 0;  х = 8;  х = – 8 б) х3 ≤ 2х     х3 – 2х ≤ 0     х(х2 – 2) ≤ 0     х(х –  2 )(х +  2 ) ≤ 0 О т в е т:  – 8 <х< 0;  х> 8.     х = 0;  х = 2 ;  х = – 2 О т в е т:   х ≤ –  2 ;  0 ≤ х ≤ 2 . 5. Решить № 2.18 (а; в). Двое учащихся самостоятельно решают на доске, остальные в тетрадях. Учитель при необходимости помогает. а)  ( х  ( х  2)  1)(3 х  х 5 2 > 0  1) 3(  2( х   х 2 3 2,5) ) 2 3 ) > 0 | ∙(– ( х  1)( х  х  2,5 2 3 )  0    в)     ( x 1)( x 2)( x    4)(3 1)( x x (2   1)( x ( x 2)( x  1  2   1)( x 1 2    2)( 4)(  )( x ( x  x  3) x  x  3) 2    ( x x   0 3) x )  3)  0       0 ( 2) 4) ( 1)( x  3) О т в е т: х< 2 3 ; 1 <х< 2,5. О т в е т:  х< – 4;  – 3 ≤ х ≤ – 2; 1 х> 3, – 1 ≤ х < 2 . 6. Решить неравенство № 2.22 (а). Объясняет учитель. а) (х – 1)2(х2 + 4х – 12) < 0. Разложим на множители квадратный трехчлен х2 + 4х  –   12   =   (х  +   6)(х  –   2)   и   решим   неравенство     (х  –1)2(х  +   6)(х  –2)   < < 0.  Рассмотрим  выражение  f(х)= (х –1)2(х +6)(х –2),  отметим  точки  1; – 6 и 2 на   числовой   прямой   и   определим   знаки  f(х)на   каждом   из   полученных промежутков.  Пользоваться  «кривой  знаков»  нельзя  из­за  множителя (х – 1)2. О т в е т:  – 6 <х< 1,  1 <х< 2  или  (– 6; 1)(1; 2). 7. Повторение ранее пройденного материала. Решить самостоятельно № 30 (а; б) и № 31 (а) на с. 8 учебника. III. Итоги урока. Выставление отметок. Домашнее задание:  изучить  по  учебнику  материал  на  с. 19–22  и коротко записать в тетради решение примеров 5 и 6; решить № 2.15 (а; б), № 2.16 (а; б), № 2.17 (в; г), 2.18 (б; г) и № 2.22 (в). У р о к  4 Цели:  закрепить   знания   и   умения   учащихся   в   решении   квадратных неравенств;   развивать   логическое   мышление   учащихся;   закрепить   навыки разложения квадратного трехчлена на множители и разложения многочлена с помощью формул сокращенного умножения. Ход урока I. Устная работа. 1. Пояснить решение заданий из домашней работы, вызвавших затруднения у учащихся. 2. Повторить разложение квадратного трехчлена  на множители по формуле ах2 + bх + с = а(х – х1)(х – х2) и разложение многочлена на множители с помощью формул сокращенного умножения. 3. На примере неравенств 3х2 + 5х – 2 < 0 и х2 + 2х + 6 > 0 расскажите, как можно   решить   неравенство   второй   степени,   используя   график   квадратной функции. 4. На примере неравенств (х + 11)(х – 8)(х + 16) > 0 и   х х 7) (  15 х  0  расскажите, как решают неравенства методом интервалов, используя «кривую знаков». II. Тренировочные упражнения. 1. Решить № 2.22 (б) на доске и в тетрадях. б) (х + 2)(х2 – 6х – 16) > 0      х2 – 6х – 16 = 0     D = 36 + 64 = 100      х1 = – 2; х2 = 8 (х + 2) ∙ (х + 2)(х – 8) > 0 (х + 2)2(х – 8) > 0 х = – 2; х = 8 О т в е т: х> 8. 2. Решить № 2.19 (в; г). Сначала объясняет учитель, а потом решение каждого несложного неравенства учащиеся заканчивают сами. 3 х  ≤ – 4; в) х +  8 х > 2 г) х – 3 х  + 4 ≤ 0  х  0 3 х  1)  0 2     х +   4 х х 3)( х  х ( 8 х  – 2 > 0 х 8   0 х  2)  0 2      х –  2 х х 4)( х х  (     х = – 3;  х = – 1;  х = 0     х = 4;  х = – 2;  х = 0 О т в е т: х ≤ – 3;  – 1 ≤ х< 0. О т в е т:  – 2 <х< 0;  х> 4. 3. Решить № 2.24 (б; в). Решение № 2.24 (в) объясняет учитель. 2 2 х х   2 9 х х  3  < 0;   8 в)       х2 – 2х + 3 = 0      D = 4 – 12 = – 8 < 0,  Корней   нет,   а   потому   формула  ах2  +  bх  +  с  =  а(х  –  х1)(х  –  х2)   здесь неприменима. Применяем   теорему   о   квадратном   трехчлене   с   отрицательным дискриминантом и положительным старшим  коэффициентом,  по  ней  трехчлен х2 – 2х + 3 положителен при всех значениях х. Тогда на него можно разделить обе части неравенства, не меняя знаки неравенства  х2  +  9х  +  8 = 0; D = 81 – 32 = 49; х1 = – 8; х2 = – 1; х2 + 9х + 8 = (х + 8)(х + 1). Решим равносильное данному неравенство  ( х  О т в е т:  – 8 <х< – 1. 1 8)( х  < 0. 1) 2 х 12  9  2 4  х х б)  < 0;      х2 – 4х + 12 = 0;      D = 16 – 48 = – 32 < 0.  Значит, по теореме х2 – 4х + 12 > 0 при всех значениях х. Решим равносильное данному неравенство:  (3  х  х ) < 0;  1 )(3 1 3)(   0  x 3) ( x О т в е т:  х< – 3; х> 3. 4. Решить № 2.25 (в) самостоятельно. Один учащийся решает на доске, другие в тетрадях, затем проверяется решение.  1;  8 2 2  х 1  2 х х  7 х 2   х 2 в)  2 х   1 0; 1  2 х х 2  х  2 2   х 2 х 8  8  0;  8 2 2  1 х  х 2 3,5  х  4)( х х   0; ( х 8  0. 2) О т в е т:  – 4 <х< 2;  х ≥ 3,5. 5. Разобрать по учебнику решение неравенства   (пример 8 на с. 24). 6. Решить № 2.37. Решение объясняет учитель. Преобразуем неравенство к виду х2(х + 2)(х – р) ≤ 0 и рассмотрим следующие возможности: р = – 2;  р< – 2;  – 2 <р< 0;  р = 0;  р> 0. 1) Если р = – 2, то неравенство примет вид х2(х + 2)2 ≤ 0. Решение неравенства состоит из двух точек: х = – 2, х = 0. 2) Если р< – 2, то решения неравенства: 3) Если – 2 < р < 0, то решения неравенства: 4) Если р = 0, то решения: 5) Если р > 0, то решения неравенства: О т в е т:    а) два целых числа при р = – 2 (случай 1); б) четыре целых числа при р = – 4 (случай 2) и при р = 1 (случай 5); в) три целых числа при р = – 3 (случай 2),  при р = – 1 (случай 3) и при р = 0 (случай 4); г) пять целых чисел при р = – 5 (случай 2) и при р = 2 (случай 5). III. Итоги урока. Выставление отметок. Домашнее задание:  рассмотреть по учебнику решение примера 7 на с. 22–23 и   записать   его   в   тетрадь;   на   отдельных   листочках   решить   домашнюю контрольную работу № 1 на с. 29–31 с № 1 по № 6.