четыре урока по теме "Рациональные неравенства" У р о к 1
Цели: ввести понятие рационального неравенства с одной переменной; закрепить знание трех правил (из § 1) при решении рациональных неравенств; научить применять метод интервалов к решению рациональных неравенств; У р о к 2
Цели: способствовать выработке навыка решения неравенств методом интервалов; научить решать рациональные неравенства вида
У р о к 3
Цели: упражнять в решении более сложных квадратных неравенств методом интервалов; закреплять навыки разложения квадратного трехчлена на множители; развивать логическое мышление учащихся.
У р о к 4
Цели: закрепить знания и умения учащихся в решении квадратных неравенств; развивать логическое мышление учащихся; закрепить навыки разложения квадратного трехчлена на множители и разложения многочлена с помощью формул сокращенного умножения.
РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
(4 ч)
У р о к 1
Цели: ввести понятие рационального неравенства с одной переменной;
закрепить знание трех правил (из § 1) при решении рациональных неравенств;
научить применять метод интервалов к решению рациональных неравенств.
I. Проверочная работа (10–12 минут).
Ход урока
В а р и а н т I
1. Решите неравенство:
а) х2 – 8х + 15 > 0;
б) 3х2 + 2х + 4 < 0;
в) х2 – 9 ≥ 0.
2. Найдите область определения выражения f(х):
х
х
х
5
8
f(х)=
В а р и а н т II
1. Решите неравенство:
а) х2 – 10х + 21 > 0;
б) – 4х2 + 3х – 5 < 0;
в) х2 – 16 ≥ 0.
7
х
6
f(х)=
3. Решите неравенство:
а) | х – 4 | ≤ 3;
б) | х + 2 | > 1.
II. Объяснение нового материала.
1. Определение рационального неравенства с одной переменной.
Рациональное неравенство с одной переменной х – это неравенство вида h(х)
3. Решите неравенство:
а) | х + 5 | ≤ 2;
б) | х – 3 | > 4.
>q(х), где h(х) и q(х) – рациональные выражения.
2. При решении рациональных неравенств используются те три правила,
которые были сформулированы выше в § 1 (повторить эти правила).
3. При решении рациональных неравенств используют методинтервалов.
4. Учитель объясняет решение № 2.1 (а; б).
а) (х + 2)(х + 3) > 0. Рассмотрим выражение f(х)= (х + 2)(х + 3). Оно
обращается в 0 в точках – 2; – 3; отметим эти точки на числовой прямой:
Числовая прямая разбивается указанными точками на три промежутка, на
каждом из которых выражение f(х)сохраняет постоянный знак. Найдем знакивыражения на каждом промежутке: на промежутке (–∞; –3) f(х) 0; на
промежутке (– 3; – 2) f(х)< 0; на промежутке (– 2; ∞) f(х)> 0. Неравенство f(х)> 0
выполняется на промежутках (–∞; – 3) и (– 2; +∞).
О т в е т: х< – 3; х> – 2.
б) (х + 3)(х – 0,5) < 0.
Выражение f(х)= (х + 3)∙(х – 0,5) обращается в нуль в точках – 3 и 0,5:
На промежутке (–∞; – 3) выражение f(х)> 0; на промежутке (– 3; 0,5)
выражение f(х)< 0; на промежутке (0,5; + ∞) f(х)> 0. Выбираем промежуток, на
котором выражение отрицательно.
О т в е т: – 3 <х < 0,5.
III. Закрепление изученного материала.
1. Решить № 2.2 (а; б) на доске и в тетрадях.
а) t(t – 1) < 0; t = 0; t = 1
О т в е т: 0 0; х = – 5; – 0,25; 3.
О т в е т: – 5 <х< – 0,25; х> 3.
5. Решить № 1.15, закрепляя ранее изученный материал.
3х2 – 2рх – р + 6 = 0
а) Квадратное уравнение имеет два различных корня, если D> 0.
D = (– 2р)2 – 4 ∙ 3(– р + 6) = 4р2 + 12р – 72;
4р2 + 12р – 72 > 0;
4р2 + 12р – 72 = 0;
р2 + 3р – 18 = 0;
р1 = 3;
р2 = – 6
4р2 + 12р – 72 = 4(р – 3)(р + 6); с помощью метода интервалов решим
неравенство 4(р – 3)(р + 6) > 0:
О т в е т: при р < – 6 и р> 3.
б) Квадратное уравнение имеет один корень, если D = 0:
4р2 + 12р – 72 = 0;
р1 = – 6;
р2 = 3.
О т в е т: при р = – 6 и р = 3.
в) Квадратное уравнение не имеет корней, если D< 0:О т в е т: при – 6 <р < 3.
IV. Итоги урока. Выставление отметок.
Домашнее задание: изучить материал на с. 13–16 учебника и записать в
тетради решение примеров 1 и 2; решить № 2.1 (в; г), № 2.2 (в; г), № 2.3 (а; б); №
2.4 (а; б), № 2.5 (а; б).
У р о к 2
Цели: способствовать выработке навыка решения неравенств методом
интервалов; научить решать рациональные неравенства вида
Ход урока
( )
Р х
Qх > 0 и
( )
( )
Р х
( )
Qх < 0.
I. Анализ проверочной работы.
1. Указать ошибки, сделанные учащимися при решении квадратных
неравенств.
2. Решить задания, вызвавшие затруднения у учащихся.
II. Выполнение упражнений.
1. Решить № 2.5 (б; в) с комментированием на месте.
2. Решить на доске и в тетрадях.
а) (х – 4)(3х + 1)(х + 1) > 0
1
3 )(х + 1) > 0 | : 3
б) (2х + 3)(х + 1)(х – 1) < 0
2(х + 1,5)(х + 1)(х – 1) < 0 | : 2
(х + 1,5)(х + 1)(х – 1) < 0
х = – 1,5; х = – 1; х = 1
(х – 4) ∙ 3(х +
1
3 )(х + 1) > 0
1
3 ; х = – 1
х = 4; х = –
(х – 4)(х +
О т в е т: (– 1; –
1
3 ) (4; ∞).
О т в е т: х < – 1,5; – 1 <х< 1.3. Решить № 2.8 (а; б). Решение объясняет учитель.
а) (2 – х)(3х + 1)(2х – 3) > 0
– 1 ∙ (х – 2) ∙ 3(х +
– 1,5) > 0 |: (– 6)
1
3 ) ∙ 2(х –
(х – 2)( х +
х = 2; х = –
1
3 )(х – 1,5) < 0
1
3 ; х = 1,5
б) (2х + 3)(1 – 2х)(х – 1) < 0
1
2 )(х –
2(х + 1,5) ∙ (– 2)(х –
– 1) < 0 | : (– 4)
1
2 ) (х – 1) > 0
1
2 ; х = 1
х = – 1,5; х =
(х + 1,5)(х –
1
3 ; 1,5 <х< 2.
1
2 ) (1; ∞).
О т в е т: (– 1,5;
О т в е т: х < –
4. После решения квадратных неравенств сделать в ы в о д: при решении
неравенств вида f(х) > 0 или f(х) < 0, где f(х) = (х – а)(х – b)(х – с), на самом
правом
неравенство
выполняется
f(х) > 0, а далее по промежуткам знаки выражения f(х) чередуются.
промежутков
выделенных
из
III. Изучение нового материала.
1. Разобрать по учебнику решение примеров 3 и 4 на страницах 16–19.
Обратить внимание учащихся на рисунки 16а, 16б (с. 19).
2. Учитель объясняет решение № 2.9 (в; г), обращая внимание учащихся на то,
что дробь равна нулю, если числитель дроби равен нулю, а знаменатель не равен
нулю.
х х
1)
(
9
х
0.
в)
Числитель дроби равен нулю при х = 0 и х = – 1; знаменатель
не равен нулю при всех значениях х, кроме х = 9. Учитываем чередование знаков
справа (ставим «+») налево на числовой прямой и чертим кривую знаков.
О т в е т: – 1 ≤ х ≤ 0; х> 9.х
2
5
7
х
х
0;
х
5
х х
(
7)
0.
г)
знаменатель – в точках 0 и – 7.
Числитель дроби обращается в нуль при х = 5, а
О т в е т: х< – 7; 0 <х ≤ 5.
IV. Закрепление изученного материала.
1. Решить № 2.10 (в; г) на доске и в тетрадях.
1
≥ 0
2
0
4
2
х
7
х
в)
7
х
4
– 1
х
2
х
7
х
4
2
х
6
х
6
0
2
х
х
6(
х
1
2
1)
2
0
: 6
х
х
Отмечаем точки х = 1 и х = – 2
0
на числовой прямой:
г)
Отмечаем точки х = 5 на
числовой прямой и чертим кривую
знаков:
О т в е т: х < 5.
О т в е т: х < – 2; х ≥ 1.
2. Самостоятельно решить № 2.11 (в; а).
О т в е т ы: в) х ≤ – 5; х ≥ – 2; а) – 3 ≤ х ≤ – 1.
V. Итоги урока.
На примере неравенства (3х – 12)(х + 7)(9 – х) < 0 расскажите, как решают
неравенства методом интервалов.
Домашнее задание: прочитать по учебнику материал на с. 14–19; решить №
2.7 (в; г), № 2.8 (в; г), № 2.9 (а; в), № 2.10 (а; б), № 2.11 (б; г); решить задачу №
43 на с. 9.У р о к 3
Цели: упражнять в решении более сложных квадратных неравенств методом
интервалов; закреплять навыки разложения квадратного трехчлена на
множители; развивать логическое мышление учащихся.
Ход урока
I. Актуализация опорных знаний учащихся.
1. Двое учащихся решают на доске задания № 2.13 (а) и № 2.14 (а), используя
теорему о квадратном трехчлене с отрицательным дискриминантом.
2. Двое учащихся решают на доске задания № 2.10 (а) и № 2.10 (б) из
домашней работы.
3
2 <х<
7
3 ; б) х< 2.
О т в е т ы: а)
3. Со всем классом разбирается решение неравенств методом интервалов:
а) (х – 3)(х + 1)(х – 8) < 0;
б) х2 – 81 ≤ 0;
в)
2
х
1
16
6
х
х х
(
2)
> 0;
0.
г)
При решении используется чередование знаков с помощью кривой знаков.
II. Решение более сложных квадратных неравенств.
1. Решить № 2.15 (в; г) на доске и в тетрадях; учащиеся решают
самостоятельно, а учитель при необходимости помогает в решении.
в) (3х – 2)(5 – х)(х + 1)(2 – х) < 0;
г) (2х + 5)(4х + 3)(7 – 2х)(х – 3) < 0
2
3 )∙(– 1)(х – 5)(х + 1) ∙
3(х –
∙ (– 1)(х– 2) < 0 | : 3
2
3 )(х – 5)(х + 1)(х – 2) < 0
2
3 ; х = 5; х = – 1; х = 2
(х –
х =
3
4 ) ∙
2(х + 2,5)∙4(х +
∙ (– 2)(х–3,5)(х – 3) < 0
(х + 2,5)(х +
3
4 )(х – 3,5)(х – 3) > 0
х = – 2,5; х = –
3
4 ; х = 3,5; х = 3О т в е т: (– 1;
2
3 )(2; 5).
3
4 <х < 3;
О т в е т: х < –2,5; –
х > 3,5
2. Решить № 2.16 (в) с комментированием на месте.
2
2
х
х
169
100
0;
(
(
х
х
13)(
10)(
х
х
13)
10)
0.
в)
Отмечаем на числовой прямой точки х = 13, х = – 13, х = 10 и
х = – 10.
О т в е т: [– 13; – 10)(10; 13] или – 13 ≤ х< – 10; 10 <х ≤ 13.
3. Решить № 2.16 (г). Решение объясняет учитель.
2
х
2
(
х х
2
49
144)
0;
(
х
2
(
х х
7)(
х
12)(
7)
х
12)
0.
г)
Отмечаем на числовой прямой точки 7; – 7; 0; 12; – 12. Так как в знаменателе
есть множитель х2, то нельзя пользоваться «кривой знаков», а надо определять
(
х
2
(
х х
7)(
х
12)(
7)
х
12)
знаки выражения f(х) =
по отдельности:
в каждом из выделенных промежутков
О т в е т: х< – 12; – 7 <х <0; 0 <х < 7; х> 12.
4. Решить № 2.17 (а; б). Учитель объясняет начало решения неравенства с
помощью разложения на множители левой части, а заканчивают решение
учащиеся самостоятельно.
а) х3 – 64х> 0
х(х2 – 64) > 0
х(х – 8)(х + 8) > 0
х = 0; х = 8; х = – 8
б) х3 ≤ 2х
х3 – 2х ≤ 0
х(х2 – 2) ≤ 0
х(х – 2 )(х + 2 ) ≤ 0О т в е т: – 8 <х< 0; х> 8.
х = 0; х = 2 ; х = – 2
О т в е т: х ≤ – 2 ; 0 ≤ х ≤ 2 .5. Решить № 2.18 (а; в). Двое учащихся самостоятельно решают на доске,
остальные в тетрадях. Учитель при необходимости помогает.
а)
(
х
(
х
2)
1)(3
х
х
5 2
> 0
1) 3(
2(
х
х
2
3
2,5)
)
2
3 )
> 0 | ∙(–
(
х
1)(
х
х
2,5
2
3
)
0
в)
(
x
1)(
x
2)(
x
4)(3
1)(
x
x
(2
1)(
x
(
x
2)(
x
1
2
1)(
x
1
2
2)(
4)(
)(
x
(
x
x
3)
x
x
3)
2
(
x
x
0
3)
x
)
3)
0
0 ( 2)
4) ( 1)(
x
3)
О т в е т: х<
2
3 ; 1 <х< 2,5.
О т в е т: х< – 4; – 3 ≤ х ≤ – 2;
1
х> 3, – 1 ≤ х < 2
.
6. Решить неравенство № 2.22 (а). Объясняет учитель.
а) (х – 1)2(х2 + 4х – 12) < 0. Разложим на множители квадратный трехчлен х2 +
4х – 12 = (х + 6)(х – 2) и решим неравенство (х –1)2(х + 6)(х –2) <
< 0. Рассмотрим выражение f(х)= (х –1)2(х +6)(х –2), отметим точки 1; – 6 и 2
на числовой прямой и определим знаки f(х)на каждом из полученных
промежутков. Пользоваться «кривой знаков» нельзя изза множителя (х – 1)2.
О т в е т: – 6 <х< 1, 1 <х< 2 или (– 6; 1)(1; 2).
7. Повторение ранее пройденного материала. Решить самостоятельно № 30 (а;
б) и № 31 (а) на с. 8 учебника.
III. Итоги урока. Выставление отметок.
Домашнее задание: изучить по учебнику материал на с. 19–22 и коротко
записать в тетради решение примеров 5 и 6; решить № 2.15 (а; б), № 2.16 (а; б),
№ 2.17 (в; г), 2.18 (б; г) и № 2.22 (в).У р о к 4
Цели: закрепить знания и умения учащихся в решении квадратных
неравенств; развивать логическое мышление учащихся; закрепить навыки
разложения квадратного трехчлена на множители и разложения многочлена с
помощью формул сокращенного умножения.
Ход урока
I. Устная работа.
1. Пояснить решение заданий из домашней работы, вызвавших затруднения у
учащихся.
2. Повторить разложение квадратного трехчлена на множители по формуле
ах2 + bх + с = а(х – х1)(х – х2) и разложение многочлена на множители с помощью
формул сокращенного умножения.
3. На примере неравенств 3х2 + 5х – 2 < 0 и х2 + 2х + 6 > 0 расскажите, как
можно решить неравенство второй степени, используя график квадратной
функции.
4. На примере неравенств (х + 11)(х – 8)(х + 16) > 0 и
х х
7)
(
15
х
0
расскажите,
как решают неравенства методом интервалов, используя «кривую знаков».
II. Тренировочные упражнения.
1. Решить № 2.22 (б) на доске и в тетрадях.
б) (х + 2)(х2 – 6х – 16) > 0
х2 – 6х – 16 = 0
D = 36 + 64 = 100
х1 = – 2; х2 = 8
(х + 2) ∙ (х + 2)(х – 8) > 0
(х + 2)2(х – 8) > 0
х = – 2; х = 8
О т в е т: х> 8.
2. Решить № 2.19 (в; г). Сначала объясняет учитель, а потом решение каждого
несложного неравенства учащиеся заканчивают сами.
3
х ≤ – 4;
в) х +
8
х > 2
г) х –3
х + 4 ≤ 0
х
0
3
х
1)
0
2
х +
4
х
х
3)(
х
х
(
8
х – 2 > 0
х
8
0
х
2)
0
2
х –
2
х
х
4)(
х
х
(
х = – 3; х = – 1; х = 0
х = 4; х = – 2; х = 0
О т в е т: х ≤ – 3; – 1 ≤ х< 0.
О т в е т: – 2 <х< 0; х> 4.
3. Решить № 2.24 (б; в). Решение № 2.24 (в) объясняет учитель.
2
2
х
х
2
9
х
х
3
< 0;
8
в)
х2 – 2х + 3 = 0
D = 4 – 12 = – 8 < 0,
Корней нет, а потому формула ах2 + bх + с = а(х – х1)(х – х2) здесь
неприменима.
Применяем теорему о квадратном трехчлене с отрицательным
дискриминантом и положительным старшим коэффициентом, по ней трехчлен
х2 – 2х + 3 положителен при всех значениях х. Тогда на него можно разделить обе
части неравенства, не меняя знаки неравенства х2 + 9х + 8 = 0; D = 81 – 32 =
49; х1 = – 8; х2 = – 1; х2 + 9х + 8 = (х + 8)(х + 1).
Решим равносильное данному неравенство
(
х
О т в е т: – 8 <х< – 1.
1
8)(
х
< 0.
1)
2
х
12
9
2
4
х
х
б)
< 0;
х2 – 4х + 12 = 0;
D = 16 – 48 = – 32 < 0.
Значит, по теореме х2 – 4х + 12 > 0 при всех значениях х. Решим равносильное
данному неравенство:
(3
х
х
)
< 0;
1
)(31
3)(
0
x
3)
(
x
О т в е т: х< – 3; х> 3.
4. Решить № 2.25 (в) самостоятельно. Один учащийся решает на доске, другие
в тетрадях, затем проверяется решение.
1;
8
2
2
х
1
2
х
х
7
х
2
х
2
в)
2
х
1 0;
1
2
х
х
2
х
2
2
х
2
х
8
8
0;
8
2
2
1
х
х
2
3,5
х
4)(
х
х
0;
(
х
8
0.
2)
О т в е т: – 4 <х< 2; х ≥ 3,5.
5. Разобрать по учебнику решение неравенства
(пример 8
на с. 24).
6. Решить № 2.37. Решение объясняет учитель.
Преобразуем неравенство к виду х2(х + 2)(х – р) ≤ 0 и рассмотрим следующие
возможности:
р = – 2; р< – 2; – 2 <р< 0; р = 0; р> 0.
1) Если р = – 2, то неравенство примет вид х2(х + 2)2 ≤ 0. Решение неравенства
состоит из двух точек: х = – 2, х = 0.
2) Если р< – 2, то решения неравенства:
3) Если – 2 < р < 0, то решения неравенства:
4) Если р = 0, то решения:
5) Если р > 0, то решения неравенства:О т в е т:
а) два целых числа при р = – 2 (случай 1);
б) четыре целых числа при р = – 4 (случай 2) и при р = 1 (случай 5);
в) три целых числа при р = – 3 (случай 2), при р = – 1 (случай 3) и при р = 0
(случай 4);
г) пять целых чисел при р = – 5 (случай 2) и при р = 2 (случай 5).
III. Итоги урока. Выставление отметок.
Домашнее задание: рассмотреть по учебнику решение примера 7 на с. 22–23
и записать его в тетрадь; на отдельных листочках решить домашнюю
контрольную работу № 1 на с. 29–31 с № 1 по № 6.