Разработка урока математики 9 класс на тему "ПЕРЕСТАНОВКА ИЗ п ЭЛЕМЕНТОВ КОНЕЧНОГО МНОЖЕСТВА"

Цели: ввести понятие перестановки из п элементов конечного 9КЛАСС ПЕРЕСТАНОВКА ИЗ п ЭЛЕМЕНТОВ КОНЕЧНОГО МНОЖЕСТВА УРОК1 множества, понятие п!; вывести формулу нахождения числа перестановок с помощью комбинаторного правила умножения. Задачи: 1. Учить решать задачи на нахождение числа перестановок с помощью комбинаторного правила умножения. 2. развивать умения объяснять, строить логические цепочки решения заданий, записывать, образное и логическое мышление, письменную и устную математическую речь 3. воспитывать аккуратность, ответственность, умение работать самостоятельно. Оборудование: учебник, доска, цветные мелки. ХОД УРОКА I. Организационный момент. 1. Проверка отсутствующих и готовности класса к уроку. 2.Сообщение темы и цели урока, запись на доске и в тетради русского языка. II. Устная работа. 1. Подсчитать число однобуквенных слов а – союз б – сокращенное частицы «бы» в – предлог ж – сокращенное частицы «же» и – союз к – предлог о – предлог с – предлог у – предлог и междометие э – междометие я – местоимение З а м е ч а н и е: смысл упражнения в том, чтобы напомнить учащимся преимущества организованного, систематического перебора вариантов. Не перечисляем произвольно однобуквенные слова, а берем алфавит, просматриваем буквы и анализируем, употребляется ли эта буква как самостоятельное слово или нет. 2. Важен или нет порядок в следующих выборах: а) капитан волейбольной команды и его заместитель (да); б) три ноты в аккорде (нет); в) «шесть человек останутся убирать класс!» (нет); г) две серии для просмотра из нового многосерийного фильма (да)? 3. Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр: 1) 1 и 2 (8); 2) 0 и 1 (4)? 4. У Светланы 3 юбки и 5 кофт, удачно сочетающихся по цвету. Сколько различных комбинаций из юбок и кофт имеется у Светланы? (15.) III. Объяснение нового материала. Простейшими комбинациями, которые можно составить из элементов З а д а ч а. В комнате вдоль стены стоят шкаф (ш), стол (с), кресло (к). конечного множества, являются перестановки. Мама решила сделать перестановку мебели. Сколько вариантов расположения этих трех предметов мебели существует? варианты, а выработать стратегию, алгоритм перечисления, перестановок: возможных выбора из двух оставшихся элементов: ш – с – к; – к – с. 1-й ш а г. Фиксируем первый элемент – шкаф, дописываем к нему два ш Опять нацеливаем ребят на то, что надо не произвольно называть 2-й ш а г. Фиксируем второй элемент – стол, дописываем к нему два с – 3-й ш а г. Фиксируем третий элемент – кресло, дописываем к нему два к – возможных выбора из двух оставшихся элементов: с – ш – к; к – ш. возможных выбора из двух оставшихся элементов: к – ш – с; с – ш. И т о г о – 6 вариантов расположения мебели (один из которых является исходным). Каждое из возможных таких расположений трех элементов называют перестановкой из трех элементов. Далее формулируем определение: Перестановкой из п элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке. Обозначение: Рп (читается «Р из п»). Затем замечаем, что для подсчета количества перестановок можно воспользоваться комбинаторным правилом умножения, тогда Рп = п (п – 1) (п – 2) · … · 3 · 2 · 1 или Рп = 1 · 2 · 3 · … (п – 2) (п – 1) · п nP n ! , где п! – произведение первых п натуральных чисел (читается «п факториал!»), по определению 1! = 1 IV. Формирование умений и навыков. На этом уроке учащимся предлагаются для решения з а д а н и я трех типов: 1) На непосредственное применение формулы для вычисления количества перестановок. 2) На выделение фиксированных элементов и вычисление количества перестановок из оставшихся элементов. 3) На преобразование выражений, содержащих факториалы. Упражнения: № 732, № 735. Обязательно проводить анализ условия и обосновывать, что речь в задаче идет именно о числе перестановок. № 732. Количество человек равно количеству мест на скамейке, поэтому количество способов размещения равно числу перестановок из 4 элементов: Р4 = 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24. О т в е т: 24 способами. В № 735 важно правильно понять вопрос задачи, тогда всего перестановок Р5 = 5! = 120, но выражений 119, так как исходное выражение не рассматриваем. № 736.Три последние цифры телефонного номера могут быть расположены в одном из Р3 = 3! = 6 возможных порядков, из которых только один верный. Наибольшее число вариантов Ольге придется набрать, если правильный ответ окажется последним, то есть шестым. О т в е т: 6 вариантов. № 737 (б). Так как число шестизначное, следовательно, нуль не может стоять на первом месте. Задачу можно решить двумя способами: I с п о с о б. Применим комбинаторное правило умножения: на первое место можно выбрать любую цифру из пяти (кроме нуля); на второе – любую из пяти оставшихся (нуль входит); на третье – любую из четырех оставшихся после первых двух выборов цифр и т. д. Общее количество вариантов равно: 5 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 600. II с п о с о б. Метод исключения лишних вариантов. Из 6 цифр можно сделать перестановок Р6 = 6! = 720, но в этом случае Если нуль на первом месте (фиксирован), то количество способов будут варианты с нулем на первом месте, их и надо исключить. размещения оставшихся пяти цифр на пяти местах равно Р5 = 5! = 120. Искомое количество шестизначных чисел в этом случае равно Р6 – Р5 = 720 – 120 = 600. О т в е т: 600 чисел. ФМ для улучшения мозгового кровообращения 1.И.п. - стоя или сидя, руки на поясе. 1 - 2 - круг правой рукой назад с поворотом туловища и головы направо. 3-4 - то же левой рукой. Повторить 4-6 раз. Темп медленный. 2.И.п. - стоя или сидя, руки в стороны, ладони вперед, пальцы разведены. 1 - обхватить себя за плечи руками возможно крепче и дальше. 2 - и. п. То же налево. Повторить 4-6 раз. Темп быстрый. 3.И.п. - сидя на стуле, руки на пояс. 1 - повернуть голову направо. 2 - и. п. То же налево. Повторить 6-8 раз. Темп медленный. оставшихся местах в произвольном порядке могут располагаться цифры 5, 7, 9. Число вариантов равно Р3 = 3! = 6. О т в е т: 6. № 746 (а, в) а) Чтобы 30! делилось на 90, необходимо, чтобы все множители, на которые делится 90, содержались в 30! 90 = 3 · 30, поэтому 30! делится на 90. в) 94 = 2 · 47, где 47 – простое число, его нет среди сомножителей 30!, поэтому 30! не делится на 94. № 738. Фиксируем цифру 3 на первом месте; тогда на трех № 748 (а, в, г). 15! 14! ∙ 15 14! 14!  16!  14! ∙ 15 ∙ 16 14! ∙ 2 ∙ 3 14! ∙ 3! = 15; г) а) V. Итоги урока. – Что означает запись п!? – Что называется перестановкой из п элементов? – Запишите формулу для вычисления числа перестановок из п = 40. элементов. Рефлексия: 1) Что вызывало у вас затруднения в начале урока и что стало понятно в течение урока? 2) Какие моменты урока особенно понравились? Когда вам было неуютно? Почему?  Общая характеристика знаний учащихся, определение положительных и отрицательных моментов. Сообщение оценок учащимся  Домашняя работа: п.31 прочитать, выписать правило в тетрадь, № 734, №738(б), №746(б, г). 9КЛАСС ПЕРЕСТАНОВОКИ УРОК 2 Цели: продолжить формирование умений применять формулу числа перестановок из п элементов Задачи: 1. Учить решать задачи на нахождение числа перестановок с помощью комбинаторного правила умножения. 2. развивать умения объяснять, строить логические цепочки решения заданий, записывать, образное и логическое мышление, письменную и устную математическую речь 3. воспитывать аккуратность, ответственность, умение работать самостоятельно, интерес к изучению предмета. Оборудование: учебник, доска, цветные мелки. I. Организационный момент. 1. Проверка отсутствующих и готовности класса к уроку. 2.Сообщение темы и цели урока, запись на доске и в тетради ХОД УРОКА II. Устная работа. Вычислить: Р3. 5 Р 4 Р ; и) Р2 + 5! 7!; е) 6! – 5!; ж) Р4; з) 4! 4 ; д) а) 3!; б) 5!; в) 1!; г) III. Самостоятельная работа. 1. Сколько существует вариантов рассаживания вокруг стола 6 гостей 2. У Вовы на обед первое, второе, третье блюда и салат. Он на шести стульях? обязательно начнет с салата, а остальное съест в произвольном порядке. Найдите число возможных вариантов обеда. Найдите число всех возможных результатов. В а р и а н т 2 3. Игральный кубик бросили трижды и записали выпавшие очки. В а р и а н т 1 1. Сколько существует вариантов рассаживания вокруг дачного 2. Маше необходимо сшить пяти куклам 5 платьев. Любимой кукле домика 8 различных деревьев в восемь подготовленных ям? Алине в первую очередь, а остальным в произвольном порядке. Найдите число возможных вариантов пошива кукольной одежды. 3. В ларьке продается 5 видов мороженого в брикетах. Оля и Таня покупают по одному брикету. Сколько существует вариантов такой покупки? В а р и а н т 1 1. Будем считать, что стулья пронумерованы. Тогда варианты расположения шести людей на шести стульях будут отличаться один от другого только порядком расположения людей на местах, то есть будут являться перестановками из 6 элементов: Р6 = 6! = 720. Р е ш е н и е О т в е т: 720 способов. 2. После салата Вова может выбрать любое из трех блюд, затем – из 3. Первое бросание кубика может закончиться одним из шести двух, а закончить оставшимся. Общее число вариантов: Р3 = 3! = 6. О т в е т: 6 вариантов. исходов. Каждый исход первого бросания может сочетаться с каждым из шести исходов второго. По комбинаторному правилу умножения таких исходов: 6 · 6 = 36. О т в е т: 36 результатов. В а р и а н т 2 1. Будем считать, что деревья пронумерованы. Тогда варианты расположения восьми деревьев в восьми ямах будут отличаться один от другого только порядком расположения деревьев в ямах, то есть будут являться перестановками из 8 элементов: Р8 = 8! = 40320. О т в е т: 40320. 2. После пошива платья кукле Алине Маша может шить одежду в произвольном порядке четырем оставшимся куклам. Число таких вариантов равно числу перестановок из 4 элементов: Р4 = 4! = 24. О т в е т: 24 варианта. 3. Оля может выбрать брикет любого из 5 видов, Таня также может выбрать брикет любого из 5 видов, в том числе и такой, какой купила Оля. Общее число вариантов покупки равно по комбинаторному правилу умножения: 5 · 5 = 25. О т в е т: 25 вариантов. проанализировать условие задачи, составить алгоритм перебора IV. Формирование умений и навыков– необходимо вариантов и только затем применять формулу подсчета числа перестановок из п элементов. № 739. Каждое четырехзначное число, составленное из цифр 1; 3; 5; 7 (без повторения), имеет сумму цифр, равную 1 + 3 + 5 + 7 = 16. Из этих цифр можно составить Р4 = 4! = 24 различных числа, отличающихся только порядком цифр. Сумма цифр всех этих чисел равна 16 · 24 = 384. О т в е т: 384. № 740 (а). Среди чисел, составленных из цифр 1; 2; 3; 4 (без повторения), больше 3000 будут четырехзначные числа, начинающиеся с цифр 3 или 4. Фиксируем цифру 3, тогда из оставшихся трех можно получить Р3 = 3! = 6 перестановок. Фиксируем цифру 4, тогда из оставшихся трех чисел можно получить Р3 = 6 перестановок. Значит, всего таких чисел 6 + 6 = 12. О т в е т: 12 чисел. Физкультминутка. Гимнастика для глаз 1. Плотно закрывать и широко открывать глаза 4-6 раз подряд с интервалом 15 секунд (в течение 2 мин.). 2. Посмотреть вверх, вниз, вправо, влево, не поворачивая головы (в течение 1 мин.). 3. Вращать глазами по кругу: вниз, вправо, вверх, влево и в обратную сторону (2 мин.). 4. Крепко зажмурить глаза на 3-5 сек. Затем открыть глаза на 3-5 сек. Повторить 6-8 раз. 5. Быстро моргать в течение 1-2 мин. фиксирован, не переставляется (Олег находится в конце ряда). Число комбинаций равно числу перестановок 6 мальчиков, стоящих перед Олегом: Р6 = 6! = 720. числу перестановок 5 мальчиков, стоящих между Олегом и Игорем: Р5 = 5! = 120. в) Пусть Олег и Игорь стоят рядом. Возможны два варианта их расположения в паре (Олег – Игорь, Игорь – Олег). Будем рассматривать эту пару как единый элемент, переставляемый с другими пятью элементами. Число таких комбинаций для каждого из двух случаев равно Р6 = 6! = 720. Значит, всего вариантов 720 + 720 = 1440. б) Два элемента фиксированы. Число возможных комбинаций равно № 741. а) Всего 7 мальчиков на 7 местах, но один элемент З а м е ч а н и е: Такой прием называется «склеиванием» элементов. О т в е т: а) 720; б) 120; в) 1440. Также на уроке можно предложить для решения задачи повышенной № 744. Применяем прием «склеивания» элементов. Пять сборников сложности. стихов можно «склеить» между собой Р5 = 5! = 120 различными способами. +«склейка»). Для каждой из 120 «склеек» существует Р8 = 8! = 40320 перестановок в группе из 8 элементов. Значит, общее число способов расставить 12 книг, из которых 5 должны стоять рядом, равно 120 · 40320 = 4 838 400. Теперь имеем множество, состоящее из 8 элементов (7 элементов О т в е т: 4 838 400 способов. № 745. а) 5 мальчиков и 5 девочек могут занять в театре в одном ряду Р10 = 10! = 3 628 800 различными способами. места с 1 по 10-е: б) Если мальчики могут сидеть только на нечетных местах, а девочки – только на четных, то мы можем менять местами только мальчиков с мальчиками и девочек с девочками. Для мальчиков это Р5 = 5! = 120 вариантов и Р5 = 120 вариантов – для девочек. Каждый вариант расположения мальчиков может сочетаться с каждым из вариантов расположения девочек, поэтому по комбинаторному правилу умножения общее число способов рассадить детей в этом случае равно 120 · 120 = 14400. О т в е т: 3 628 800, 14400. V. Итоги урока. – Что называется перестановкой из п элементов? Запишите формулу – Каким способом решаются комбинаторные задачи на перестановки при – В чем суть приема «склеивания» элементов? для вычисления числа перестановок из п элементов. фиксированных элементах? Рефлексия: 1) Что вызывало у вас затруднения в начале урока и что стало понятно в течение урока? 2) Какие моменты урока особенно понравились? Когда вам было неуютно? Почему?  Общая характеристика знаний учащихся, определение положительных и отрицательных моментов. Сообщение оценок учащимся  Домашнее задание: п.31 повторить, № 740 (б), № 743, № 750.