Решение тригонометрических уравнений (10-й класс)

Решение тригонометрических уравнений (10­й класс). Тема: «Решение тригонометрических уравнений» Цель: систематизация знаний по изучаемой теме, отработка навыков решения уравнений,  контроль знаний учащихся. ХОД УРОКА I. Оргмомент II. Устные упражнения 1. Решение уравнений:  ;  2. Имеет ли смысл выражение:  ;  ;  ;  ;  3. Вычислить:  III. Проверка домашнего задания с объяснением решения учащимися Домашнее задание: несколько учеников записывают на доске во время перемены. = 1.  2.      3.     нет решений 4.  5.  6.  Домашнее задание проверяется по готовым ответам, и выставляются оценки: «3» – 4 правильно решенных уравнения «4» – 5 правильно решенных уравнения «5» – 6 правильно решенных уравнения IV. Математический диктант Условие записано на доске Решите уравнения. I. 1. 2.  3.  4.  5.  6.            II. 1.  2.  3.  4.  5.  6.              Ответы записаны на обратной стороне доски. Сразу проверяем и выставляем оценки. V. Систематизация знаний по теме а) Историческая справка о возникновении тригонометрии (в виде сообщения одного из  учеников) Тригонометрия – слово греческое и в буквальном переводе означает измерение  треугольников (trigwnon – треугольник, а metrew – измеряю). Возникновение тригонометрии связано с землемерением, астрономией и строительным  делом. Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые Аль­Батани  (850­929) и Абу­ль­Вафа, Мухаммед­бен Мухаммед (940­998), который составил таблицы  синусов и тангенсов через 10 с точностью до 1/604.  Теорему синусов уже знали индийский ученый Бхаскара и азербайджанский астроном и  математик Насиреддин Туси Мухаммед (1201­1274).  Кроме того, Насиреддин Туси в своей работе «Трактат о полном черырехстороннике»  изложил плоскую и сферическую тригонометрию как самостоятельную дисциплину. Длительную историю имеет понятие синус. Фактически различные отношения отрезког  треугольника и окружности (а, по существу, и тригонометрические функции) встречаются  уже в III веке до н.э. в работах великих математиков Древней Греции – Евклида, Архимеда, Апполония Пергского. В римский период эти отношения достаточно систематично исследовались Менелаем (I век н.э.), хотя и не приобрели специального названия.  Современный синус, например, изучался как полухорда, на которую опирается  центральный угол величиной а, или как хорда удвоенной дуги. В IV­V веках появился уже специальный термин в трудах по астрономии великого  индийского ученого Ариабхаты. Отрезок он назвал ардхаджива.  Позднее появилось более краткое название джива. Арабскими математиками в IX веке это  слово было заменено на арабское слово джайб (выпуклость).  При переводе арабских математических текстов в веке оно было заменено латинским синус (sinus – изгиб, кривизна). Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращение латинского  выражения completely sinus, т.е. «дополнительный синус». Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также котангенс) введен в X веке арабским математиком Абу­ль­Вафой, который составил и  первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы  были заново открыты в XIV веке немецким математиком, астрономом Регимонтаном (1467  г.). Он доказал теорему тангенсов. Региомонтан составил также подробные  тригонометрические таблицы: благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной в Европе. Название «тангенс», происходящее от  латинского tanger (касаться), появилось в 1583 г. Дальнейшее развитие тригонометрия  получила в трудах выдающихся астрономов Николая Коперника (1473­1543) – творца  гелиоцентрической системы мира, Тихо Браге (1546­1607) и Иоганна Кеплера (1571­1630),  а также в работу математика Франсуа Виета (1540­1603), который полностью решил задачу об определениях всех элементов плоского или сферического треугольника по трем  данным. Долгое время тригонометрия носила чисто геометрический характер. Начиная с XVII в.,  тригонометрические функции начали применять к решению уравнений, задач механики,  оптики, электричества, радиотехники, для описания колебательных процессов,  распространения волн, движения различных механизмов, для изучения переменного  электрического тока и т.д. Поэтому тригонометрические функции всесторонне и глубоко  исследовались и приобрели важное значение для всей математики. Аналитическая теория тригонометрических функций в основном была создана  выдающимся математиком XVIII веке Леонардом Эйлером (1707­1783) членом  Петербургской Академии наук. Громадное научное наследие Эйлера включает блестящие результаты, относящиеся к  математическому анализу, геометрии, теории чисел, механике и другим приложениям  математики. Именно Эйлер первым ввел известные определения тригонометрических  функций, стал рассматривать функции произвольного угла, получил формулы приведения.  После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления: различные факты стали  доказывать путем формального применения формул тригонометрии, доказательства стали  намного компактнее и проще. Таким образом, тригонометрия, возникшая как наука о решении треугольников, со  временем развилась и в науку о тригонометрических функциях. б) Классифицируем тригонометрические уравнения: Рассматриваем типы тригонометрических уравнений и из набора уравнений выбираем  уравнения каждого типа. 1. Простейшие тригонометрические уравнения. 2. Решения уравнений с помощью замены переменной. 3. Решение уравнений разложением на множители. 4. Решение однородных уравнений I степени. 5. Решения однородных уравнений II степени. 1.  2.  3.  4.  5.  6.  7.   9.  10.  11.  12.  13.  14.  15.  8.  в) Выполняем решение примеров уравнений по группам:   I группа 8, 9, 5, 3, 1; II группа 10, 13, 2, 7, 11;  III группа 12, 4, 6, 14, 15. Решившие первыми учащиеся получают оценки и помогают остальным учащимся. VI. Тест I  уровень 1. Какое из данных уравнений не имеет корней: 1)  2)  3)    4)  Ответы: 1) 1 и 2  2) 1 и 4  3) 2 и 4  4) другой ответ 2. Какое из данных выражений не имеет смысла:   1)  2)  3)  4)  Ответы: 1) 1  2) 1 и 3  3) 4  4) 3 3. Вычислить:  Ответы: 1)  2) 0  3)  4) 4. Решить уравнение:  Ответы:     1)  2)  3)  4)  5. Решить уравнение:  Ответы: 1)  2)  3)  4)    6. Решить уравнение:  Ответы:   1)  2)  3)  4)  II уровень 1. Какое из данных уравнений не имеет корней: 1)  2)  3)  4)  Ответы: 1) 1 и 2  2) 1 и 4  3) 1, 2 и 4  4) другой ответ 2. Какое из данных выражений не имеет смысла: 1)  2)  3)  4)  Ответы: 1) 1 и 2  2) 3  3) 4  4) 3 и 4 3. Вычислить:  Ответы: 1) 10  2) 10,8  3) 0,8  4) 10,6     4. Решить уравнение:  Ответы: 1)  2)  3)  4)  5. Решить уравнение:  Ответы: 1)  2) 3)  4)  6. Решить уравнение:  Ответы: 1)  2)  3)  4) нет решений VII. Домашнее задание: придумать по одному уравнению каждого типа и решить их. VIII. Подведение итогов урока