Решение задач с помощью систем уравнений второй степени.

У р о к  46: Решение задач с помощью систем уравнений второй степени. Дата: 22.12.16г. Класс: 9б. Ход урока Цели: формировать умение решать задачи на движение с помощью систем уравнений второй степени. I. Организационный момент. II. Устная работа. Периметр прямоугольника равен 20 см, а его площадь равна 21 см2. Пусть х  и  у  –   стороны   этого   прямоугольника.   Какая   из   систем   соответствует условию задачи? 20,    x y   xy 21;  2 (   1  2 а)  III. Проверочная работа. б)  x   ) 20, y xy  21; В а р и а н т  1 10,    x y   xy 21. в)  1. Разность двух чисел равна 5, а их произведение равно 84. Найдите эти числа. 2. Прямоугольный участок земли площадью 2080 м2  обнесен изгородью, длина которой равна 184 м. Найдите длину и ширину участка. 1. Сумма двух чисел равна 25, а их произведение равно 144. Найдите эти В а р и а н т  2 числа. 2. Прямоугольный участок земли площадью 3250 м2  обнесен изгородью, длина которой равна 230 м. Найдите длину и ширину участка. IV. Формирование умений и навыков. Сначала необходимо актуализировать знания учащихся о решении задач на движение, выделив  р я д   э т а п о в. 1) Анализ условия: – Какие объекты рассматриваются в задаче? –   Какое   движение   описано   в   задаче   (однонаправленное,   движение навстречу, по кругу и т. д.)? – Значения каких величин известны? 2) Выделение процессов, которые описаны в задаче. 3) Выбор неизвестных величин и заполнение таблицы. 4) Составление системы уравнений. 5) Решение системы уравнений. 6) Интерпретация и проверка полученного решения. Как реализуются описанные этапы, можно разобрать на примере задачи  № 472. Р е ш е н и е 1)   В   задаче   описано   движение   двух   пешеходов   навстречу   друг   другу. Известно   расстояние   между   пунктами   и   расстояние,   которое   прошли пешеходы за 4 часа. 2) Выделим два процесса: – реальное движение пешеходов; – движение при условии выхода одного из пешеходов на 1 ч раньше. 3) Пусть х км/ч – скорость первого пешехода и у км/ч – скорость второго пешехода. Заполним две таблицы: Реальное движение пешеходов Движение с заданным условием S V t S V 1­й 4х км х км/ч 4 ч 1­й 20 км х км/ч 2­й 4у км у км/ч 4 ч 2­й 20 км у км/ч t 20 х  ч 20 у  ч 4)  Известно, что  расстояние  от  А  до  В  равно  40 км, поэтому  получим уравнение: 4х  + 4у  = 36. Известно, что при движении с заданным условием первый   пешеход   был   в   пути   на   1   ч   дольше,   то   есть   получим   уравнение: 20 х 20 у   = 1.   1;         1. y  x 9   36,  1. 4 x 20 x , y 20 y 4 y 20 y   9 20  y Составим систему уравнений:    x 9,   20 20  x y  5) Решим ее способом подстановки:      20у – 20 (9 – у) – у (9 – у) = 0; 20у – 180 + 20у – 9у + у2 = 0; у2 + 31у – 180 = 0; у1 = 5     х1 = 9 – 5 = 4; у2 = – 36 (не подходит по смыслу задачи). 6) Получаем скорости  пешеходов: 4 км/ч и 5 км/ч. О т в е т: 4 и 5 км/ч. Упражнения: 1. № 473, № 547. 2. № 461. Р е ш е н и е Пусть  х  км/ч   –   скорость   первого   отряда   и  у  км/ч   –   скорость   второго отряда. Заполним таблицу: 1­й отряд 2­й отряд S V 4х км х км/ч 4у км у км/ч t 4 ч 4 ч Известно,   что   первый   отряд   прошел   на   4,8   км   больше,   чем   второй. Получим уравнение: 4х – 4у = 4,8. На рисунке ОА = 4х и ОВ = 4у. По теореме Пифагора, получим уравнение: (4х)2 + (4у)2 = 242. Составим систему уравнений:   4 x  2 16 x  Решая   систему   способом   подстановки, находим, что  х  = 4,8 и  у  = 3,6   1,2, y   2 2 y  4,8, y 4   2 16 y    x x  2 24 ; 36. (другое решение является отрицательным). О т в е т: 4,8 и 3,6 км/ч. Сильным в учебе учащимся можно дополнительно дать выполнить № 548. Пусть   х  км/ч   –   скорость   первого   автомобиля,   а  у  км/ч   –   скорость Р е ш е н и е второго. В первую таблицу занесем данные о прохождении каждым автомобилем всего пути, а во вторую – об их движении после встречи. S V 1­й 90 км х км/ч 2­й 90 км у км/ч t 90 х  ч 90 у  ч S V t 1­й 1,25х км х км/ч 1,25 ч 2­й 0,8у км у км/ч 0,8 ч Поскольку после встречи первый автомобиль приходит в N через 1,25 ч, а второй в М через 0,8 ч, то первый на весь путь тратит на 1,25 – 0,8 = 0,45 ч больше. Получим уравнение:  90 у 90 х После встречи первый автомобиль проходит 1,25х км, а второй – 0,8у км.  = 0,45.         1,   x    90; 0,8 y 0,45, 90 y  200 x 25 x 200 y 16 y Получим уравнение: 1,25х + 0,8у = 90. Составим систему:  90  x   1,25  Решая эту систему, находим, что х = 40 и у = 50. О т в е т: 40 км/ч и 50 км/ч. V. Итоги урока. В о п р о с ы   у ч а щ и м с я: – Опишите различные способы решения систем уравнений второй степени. – Перечислите этапы решения задач на движение. – Какие виды движения могут описываться в задаче? – В чем заключается интерпретация полученного решения? Домашнее задание: № 462, № 474. 1800.