Технологическая карта урока

Тема

Интегралы и их применение

Цель урока

Систематизировать, расширить и углубить знания по данной теме.

Способствовать развитию умения сравнивать, обобщать, классифицировать, анализировать, делать выводы.

Побуждать учащихся само- и взаимоконтролю, воспитывать познавательную активность, самостоятельность, упорство в достижении цели.

Планируемый результат

Предметные умения

УУД

Знать правила интегрирования ,уметь применять при вычислении интегралов.

иметь представление о нахождении нестандартных площадей с помощью формулы Ньютона Лейбница.

уметь применять интегралы при решении задач физики,биологии,экономики.

Личностные: уметь  строить взаимоотношения с одноклассниками, пользоваться правилами поведения

Коммуникативные: развивать речевую деятельность учащихся,  умение вести диалог, контролировать и оценивать действия партнёра, учитывать разные мнения и стремиться к сотрудничеству

Познавательные: уметь  находить информацию в учебнике, в компьютере, в справочной литературе , в интернете, уметь анализировать и классифицировать информацию; сравнивать объекты; устанавливать причинно-следственные связи; представлять информацию в разных формах, ориентироваться на разнообразие способов решения задач.

Регулятивные: уметь ставить цель, определять проблему; выдвигать версии; планировать свою деятельность; работать по заранее составленому плану, оценивать правильность выполнения действия.

Организация пространства

Межпредметные связи

Формы деятельности

Ресурсы

Физика,биология,геометрия,экономика

Работа в парах, с учебником и печатными изданиями, с таблицами, с карточками разноуровневых заданий.

Фронтальная работа

Презентации

Демонстрационная варианты,эталоны ответов,карточки с теоретическим материалом,карточки с индивидуальным заданием,тетради учащихся.

Ход урока

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Познавательная

Коммуникативная

Регулятивная

Осуществляемые действия

Формируемые способы деятельности

Осуществляемые действия

Формируемые способы деятельности

Осуществляемые действия

Формируемые способы деятельности

                                                          Этап постановки целей и задач урока

Создание проблемной ситуации

Создаёт для учеников проблемную ситуацию: предлагает найти площадь нестандартной фигуры.

Анализируют задачу и устанавливают связь между двумя фактами,

 учаться анализировать информацию, выдвигать гипотезу,находить закономарности

Обсуждают увиденное в парах ,участвуют в дискуссии с учителем.

 учаться слушать собеседника,педагога, доступно высказывать свои мысли.

Выдвигают версии, формулируют тему и цель урока

Уметь определять цель, проблему,над которой будут работать.

Приложение 1. индивидуальные оценочные листы.

Урок происходит по этапам. Результаты каждого этапа учащимся заносят в оценочные листы:

Оценка за урок зависит от суммы набранных баллов по всем заданиям.

Оценка «5»      65-72  б

             «4»      57-64   б

            «3»       50-56  б

Очень многих задачах физики надо найти сумму очень большого количества очень маленьких величин, в идеале бесконечного числа бесконечно малых величин. такой подсчет очень трудоемкий, но оказывается если известен закон по которому находится каждая величина (задана функция) , то во многих случаях задача сильно упрощается, если воспользоваться специальными правилами - правилами интегрирования. искомая сумма и называется интегралом.
в других, не менее многочисленных задачах, необходимо знать как изменяется функция при незначительном, в идеале бесконечно малом изменении аргумента.такие задачи легко решаются при помощи производной.

1. С помощью интеграла можно вычислять площади фигур, ограниченных графиками определенных функций.

2. С помощью интеграла в физике решается большое количество задач на определение пути по известному закону изменения мгновенной скорости и вычисления работы переменной силы по формуле:

Учащиеся в парах повторяют теорию по теме и отвечают друг другу на вопросы Правильный ответ оценивается в один балл.

Первообразная и интеграл.

1)      F(x) - первообразная для f(x)на множестве Х если F'(x) = f(x) для всехxX. Если F(x) - первообразная для f(x) на множестве X, то F(x) + c - множествовсех первообразных для f(x) на множествеX. Это множестве первообразных называют неопределенным интегралом и обозначают

2)      Таблица первообразных и интегралов

3)      Правила вычисления первообразных

- Если F – первообразная для f, aG  - первообразная для g, тоF+G есть первообразная для f+g.

-Если F – первообразная для f, ak–постоянная, то kFесть первообразная для kf.

Если F(x) –первообразная для f(x), ak, b–постоянные, причем k0, то есть есть первообразная для f(kx+b).

4)- формула Ньютона-Лейбница.

5) Площадь Sфигуры, ограниченной прямыми x-a,x=b и графиками непрерывных на промежутке [a;b] функций и таких, что для всех x [a;b] вычисляется по формуле

6) Объемы тел, образованных вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью Oxи двумя прямыми x = aи x = b вокруг осей Ох и Оу, вычисляются соответственно по формулам:

или

Применение интеграла.

Вопросы по теме «Первообразная. Интеграл.»

Учитель предлагает подвести итог этого этапа.

Этап повторения

Работа с различными источниками информации

Организует работу с источниками информации

Читают и просматривают источники информации

Выделяют существенную информацию.Отвечают на вопросы друг другу

Обсуждают информацию,заполняют тесты,осуществляют взаимопроверку.

Координируют работу в паре .

Делают выводы, подводят итог работы.

учатся слушать друг друга, дополнять и уточнять высказанные мнения

Приложение 2

Учитель предлагает у доски нескольким учащимся решить задания ,приготовленные дома на применение интегралов.

1)      Материальная точка массы m = 1 кг движется по прямой под действием силы, которая меняется по закону F(t) = 8 – 12 t н. Найдите закон движения точки, если в момент времени t = 1 секунде, её координата равна 0 и скорость равна 1 м/сек. В какой момент времени скорость точки будет максимальной?

Решение.

1. F = ma?
2. 

3. x (t) = , так как x (0) = 0, то  = 0.

            Значит x (t)  = .

4. Найдем момент времени, когда скорость точки будет максимальной

8 – 12t = 0,

t =

Ответ: x (t)  = ,

t = с.

2)      При каком а выполняется равенство    ?

Решение.

По условию задачи , откуда , .

Ответ: -2; .

3)      Вычислить интеграл 

Решение

Ответ: .

Каждое правильное выполнение задание оценивается классом от 1 до 5 баллов

Работа в парах

КАРТОЧКАДЛЯПАРЫ №1

Задание: вычислите площадь заштрихованной фигуры

КАРТОЧКА ДЛЯ ПАРЫ № 2

Задание: Вычислите площадь заштрихованной фигуры

КАРТОЧКА ДЛЯ ПАРЫ № 3

Задание: Вычислите площадь заштрихованной фигуры

 КАРТОЧКА ДЛЯ ПАРЫ № 4

Задание: Вычислите площадь заштрихованной фигуры

Рефлексия деятельности на уроке

Заполнение таблицы

Предлагает систематизировать информацию в виде таблицы «Применение интегралов»

Выявляют свойства интегралов,правила интегрирования ,связь между  дифференцированием и интегрированием.

Учаться представлять информацию в виде таблицы

Обсуждают свойства, советуются, отвечают друг на вопросы,

Координируют работу в паре по систематизируют информацию.

Работают по плану самостоятельно, выполняя свое задание,затем решают общую групповую задачу.

Работают по плану, находят и исправляют ошибки

Этап актуализации знаний и умений

Аукцион задач

Обсуждение следующей проблемной ситуации: как вычислить скорость движения материальной точки, как вычислить рост бактерий…

Создаёт проблемную ситуацию, предъявляя новые области применения интегралов при вычислении

Начинают анализировать ситуацию

Учатся анализировать ,применяя знания и умения

Обсуждают советуются,

спорят, опытным путем доказывают истину

учатся находить общее решение, приходить к единому мнению, слушать друг друга

Выдвигают гипотезы, и способы их решения

учатся прогнозировать,подводить итоги работы

Приложение 3

Учитель предлагает учащимся выбрать задачи для работы в группах.

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = и касательными, проведенными к графику в точках  и  (5 баллов).

2..Найти первообразную для функции , проходящую через точку М(2;4).

Решение. Множество всех первообразных функции  есть неопределенный интеграл . Вычислим его, используя свойства интеграла 1° и 2°. Имеем:

.

Получили, что множество всех первообразных задается семейством функций y=F(x)+C, то есть y=x³–2x+C, гдеС – произвольная постоянная.

Зная, что первообразная проходит через точку М(2;4), подставим ее координаты в предыдущее выражение и найдем С.

4=2³–2×2+СÛС=4–8+4;  С=0.

Ответ:F(x)=x³-2x – искомая первообразная.

3. Пример 4. Используя геометрический смысл интеграла вычислить

а) ;   

Решение.

а) – равен площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями .

Преобразуем

 – верхняя половина окружности с центром Р(1;0) и радиусом R=1.

Поэтому  .

Ответ:.

1.     Вычислить объем тела вращения, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями у=2х, у=х+3, х=0, х=1

Решение:

Задача. Тело движется прямолинейно со скоростью n(t)=6t+4 м/сек. Найти длину пути, пройденного телом за третью секунду.

 Решение:

Задача. Линейная плотность r(l) неоднородного стержня длиной 36 см изменяется по закону r(l)=3l²+4 гр/см. Найти массу стержня.

Решение:

Задача. Величина тока изменяется по закону I(t)=4t³+1 А. Найти количество электричества, протекающего через поперечное сечение проводника за первые 12 сек.

 Решение:

Задача. Силой 90 Н пружина растягивается на 0,01м. Первоначальная длина пружины0,40 м. Какую надо совершить работу, чтобы растянуть пружину до 0,45 м?

Решение: 1) 90=К0,01,  К=90:0,01=9000,  F(x)=9000x,  0.45-0.4=0.05

2)

Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций

                    и 

Найти площадь фигуры, изображенной на рисунке

 Вычислить определенный интеграл.

1.     . В проводящем замкнутом контуре, помещенном в переменное магнитное поле, возникает ЭДС индукции по закону έi =16sin nt в интервале времени от 1 до 2 секунд. Вычислите значение магнитного потока в этом интервале времени.

При вращении рамки в однородном магнитном поле возникает ЭДС индукции, изменяющаяся со временем по закону έ =50 соs t. Найти значение магнитного потока, пронизывающего рамку в конце первой минуты вращения.

1. Решить задачу. Тело движется неравномерно по закону  найдите ее перемещения за первые 20 секунд.

2.     Ответ:  км.

2.     Решить задачу. Какую работу надо произвести, при перемещении материальной точки на промежутке от 1 до 2 метров под действием силы, заданной законом .

 Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

 у = 4 – х², у = х² – 2х.

Найдем пределы интегрирования

4 – x² = х² – 2х

2х² – 2х – 4 = 0

х² – х – 2 = 0

х = 2 х = -1 – пределы интегрирования

Построим графики функций:

S_ВСДК = S_АВСД – S_АВО + S_ОДК

 (ед²)

 (ед²)

 (ед²)

 (ед²)

. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями

 и отрезком  оси абсцисс.

    Решение:

    Нарисуем плоскую фигуру, площадь которой нам надо найти:

Рис. 2

    Имеем:

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

.

    Решение.

    Как и в предыдущем случае рассматриваем эту фигуру как криволинейную трапецию (см. рис. 3).

Рис. 3

    Из рисунка видно, что

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми

Рис. 5

 и прямыми .

    По приведённой формуле имеем:

.

Найти площадь фигуры, ограниченной прямыми  и параболой

 .

    Решение:

Рис. 6

    Следовательно,

.

1) Скорость движения материальной точки задается формулой  = (4м/с. Найти путь, пройденный точкой за первые 4с от начала движения.

Решение:

2) Скорость движения изменяется по закону  м/с . Найти длину пути, пройденного телом за 3-ю секунду его движения.

Решение:

3) Скорость движения тела задана уравнением  м/с. Определить путь, пройденный телом от начала движения до остановки.

Решение:

Скорость движение тела равна нулю в момент начала его движения и остановки. Найдем момент остановки тела, для чего приравняем скорость нулю и решим уравнение относительно t; получим 

Следовательно,

4) Тело брошено вертикально вверх со скоростью, которая изменяется по закону  м/с. Найти наибольшую высоту подъема.

Решение:

Найдем время, в течении которого тело поднималось вверх: 29,4–9,8t=0 (в момент наибольшего подъема скорость равна нулю); t = 3 с. Поэтому

5) Какую работу совершает сила в 10Н при растяжении пружины на 2 см?

Решение:

По закону Гука сила F, растягивающая пружину, пропорциональна растяжению пружины , т.е. F = kx. Используя условие, находим  (Н/м), т.е. F = 500x. Получаем

6) Сила в 60Н растягивает пружину на 2 см. Первоначальная длина пружины равна 14 см. Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть ее до 20 см?

Решение:

Имеем  (H/м) и, следовательно, F=3000x. Так как пружину требуется растянуть на 0,06 (м), то

7) Определить силу давления воды на стенку шлюза, длина которого 20 м, а высота 5 м (считая шлюз доверху заполненным водой).

Здесь y = f(x) = 20, a = 0, b = 5 м,  кг/.

Находим

8) В воду опущена прямоугольная пластинка, расположенная вертикально. Ее горизонтальная сторона равна 1 м, вертикальная 2 м. Верхняя сторона находится на глубине 0,5 м. Определить силу давления воды на пластинку.

Решение: Здесь y = 1, a = 0,5, b = 2 + 0,5 = 2,5 (м),  = 1000 кг/.

Повторение темы «Первообразная и интеграл»

Фронтально работает с классом, предлагая найти ошибки в решении некоторых задач

Вспоминают формулы, решают устно задачи

Тренируют память. развивают вычислительные навыки

Общаются с учителем  и товарищами, работают с информацией

учаться работать в  коллективе,высказывать свою точку зрения

Выдвигают предположения использования изученнойинформации при решении проблемы

Анализировать, сопостовлять факты, получать желаемый результат

Итог урока. Учащиеся подводят итого в оценочных листах, подводят итог, возвращаясь в начало урока ,делают выводы о применении интегралов.

Домашнее задание: выполнить домашнюю контрольную работу