Урок по теме "Решение задач по теме Прямоугольный треугольник"

У р о к   № ТЕМА:РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Ц е л и :   повторить   и   систематизировать   ранее   изученный   материал; вырабатывать   навыки   в   решении   задач;   развивать   логическое   мышление учащихся. Х о д   у р о к а I. Устная работа. 1. С ф о р м у л и р о в а т ь   свойства прямоугольных треугольников. 2. С ф о р м у л и р о в а т ь   признаки равенства прямоугольных треугольников. 3. У с т н о   р е ш и т ь   задачи по готовым чертежам: 1) На рисунке 1 В = С = 90°;  1 =  2. Докажите, что АВ = СD. 2) На рисунке 2 АВ = СD; ВС = АD,  АFВ =  СЕD = 90°. Докажите, что BF = ED; АF = EC. 3) На рисунке 3  1 =  2 = 90°, АВ = DС. Докажите, что ВС = АD. 4) На  рисунке  4  АН  и  А1Н1 – высоты  треугольников  АВС и А1В1С1; АС = А1С1;  1 =  2; АН = А1Н1. Докажите, что  АВС =  А1В1С1. Рис. 1                                                                  Рис. 2                   II. Устный опрос учащихся по карточкам.В а р и а н т   I 1. Сформулируйте теорему о сумме углов треугольника. 2. Один из углов при основании равнобедренного треугольника равен 65°. Найдите остальные углы треугольника. 3. В треугольнике АВС  В = 110°; биссектрисы углов А и С пересекаются в точке О. Найдите угол АОС. В а р и а н т   II 1. Сформулируйте свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°. 2.   В     прямоугольном     треугольнике    АВС   С   =  90°;   В   =  60°,  АВ  = = 15 см. Найдите ВС. 3. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см. Найдите гипотенузу. В а р и а н т   III 1.   Сформулируйте   признак   равенства   прямоугольных   треугольников   по гипотенузе и катету. 2. В  треугольниках  АВС  и  А1В1С1   В = В1 =  90°;  АВ  =  А1В1, АС = А1С1. Найдите  углы А1 и С1 треугольника  А1В1С1,  если  А = 34°;  С = 54°. 3. На сторонах угла А отмечены точки В и С так, что АВ = АС. Через точки В и С проведены прямые, перпендикулярные соответственно к сторонам АВ и АС данного угла и пересекающиеся в точке М. Докажите, что МВ = МС. В а р и а н т   IV 1.   Сформулируйте   признак   равенства   прямоугольных   треугольников   по гипотенузе и острому углу. 2. В  треугольниках   АВС   и  А1В1С1 углы В и В1 прямые,  А =  А1, АС = А1С1.  Найдите  стороны  В1С1  и  А1В1   треугольника  А1В1С1,  если ВС = 17 см, АВ = 12 см. 3. Даны    два   равных   прямоугольных   треугольника   АВС    и    А1В1С1,  у которых  В = В1 =   90,  А =  А1; ВН и В1Н1 – высоты. Докажите, что ВНС =  В1Н1С1. III. Решение задач.  1. Р е ш и т ь   задачу № 299 на доске и в тетрадях.Р е ш е н и е При решении удобно обозначить  А = х и ввести обозначения цифровые для углов, как показано на рисунке. Итак,   А   =   х,  поэтому   1  =   А   =   х,  2  =  2х  (как внешний угол   АРQ),   4  = =  2 = 2х;  3 = 180° – ( 2 +  4) = 180° – – 4х;   5 = 180  – ( 1 +   3) = 3х;   6  = =  5 = 3х.  х Далее,   7  =   В  –   6, но   В  =   С =   180 2   2 , поэтому   7  =   х   180 2 –  3х  =   7 х =   =  180 .  Так  как  8 =  С,  то  С +  8 +  7 = 2 С +  7  =  180°,  или 180° – х 180 7 х   2 +   = 180°. Отсюда получаем, что х = 20°. Значит,  А = 20°. О т в е т : 20°. 2. Р е ш и т ь   задачу № 311 на доске и в тетрадях. Р е ш е н и е Проведем биссектрисы углов, образованных при пересечении двух прямых, ОА и ОВ.  Возьмем произвольную точку  С  на одной из биссектрис и докажем, что она равноудалена от прямых  ОА  и  ОВ, то есть докажем, что  СD = СЕ. В   самом деле,  прямоугольные  треугольники  ОDС  и  ОЕС  равны  по гипотенузе  (ОС – общая гипотенуза) и острому углу ( 1 =  2), поэтому СD = СЕ.Докажем   теперь,   что   любая   точка  М,   расположенная   внутри   угла  АОВ  и равноудаленная от сторон ОА и ОВ, лежит на биссектрисе этого угла. Для этого проведем   перпендикуляры  MN  и  MP  к   прямым  ОА  и  ОВ  и   рассмотрим прямоугольные треугольники  ONM  и  ОРМ. Они равны по катету и гипотенузе (ОМ – общая гипотенуза, MN = MP, так как по условию точка М равноудалена от сторон ОА и ОВ), поэтому  NOM =  POM, то есть луч ОМ – биссектриса угла  АОВ. Из доказанных утверждений следует, что искомое множество точек состоит   из   двух   прямых,   содержащих   биссектрисы   углов,   образованных   при пересечении данных прямых. . Домашнее задание: повторить пункты 15–33; решить задачи №№ 266, 297; принести циркули и линейки. Самостоятельная работа (проверочного характера) (20 мин). В а р и а н т   I 1.   На   рисунке   5  АD   =   DС;  ЕD   =   DF;   1  =   2  =  90°.   Докажите,   что треугольник АВС равнобедренный. 2. Один   из   углов   прямоугольного   треугольника   равен 60°,   а   сумма гипотенузы и меньшего катета равна 18 см. Найдите гипотенузу и меньший катет. В а р и а н т   II 1.  На  рисунке  6   1  =   2,   3  =   4  =  90°;  ВD  = DС.  Докажите, что треугольник АВС равнобедренный. 2. Один из острых углов прямоугольного треугольника в два раза меньше другого,   а   разность   гипотенузы   и   меньшего   катета   равна   15   см.   Найдите гипотенузу и меньший катет.В а р и а н т   III (для более подготовленных учащихся) 1. Через середину отрезка АВ проведена прямая а. Из точек А и В к прямой а проведены перпендикуляры АС и ВD. Докажите, что АС = ВD. 2. В прямоугольном треугольнике СDЕ с прямым углом Е проведена высота EF. Найдите CF и FD, если СD = 18 см, а  DСЕ = 30°. В а р и а н т   IV (для более подготовленных учащихся) 1.   Из   точки  М  биссектрисы   неразвернутого   угла  О  проведены перпендикуляры МА и МВ к сторонам этого угла. Докажите, что МА = МВ. 2.   В   прямоугольном   треугольнике  АВС  с   гипотенузой  АВ  и   А   =  60° проведена высота СН. Найдите ВН, если АН = 6 см. Рис. 5                                                                   Рис. 6           IV. Итоги урока.   Домашнее задание: повторить пункты 15–33; решить задачи №№ 266, 297; принести циркули и линейки.